Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，﹣5）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有什么位置關系，并給出證明；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為：y=a（x﹣3）2+4，

將A（0，﹣5）代入求得：a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5

（2）

解：拋物線的對稱軸l與⊙C相離．證明：

令y=0，即﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，

∴B（1，0），C（5，0）．

如答圖①所示，

設切點為E，連接CE，

由題意易證Rt△ABO∽Rt△BCE，

∴ ，

即 ，

求得⊙C的半徑CE= = = ；

而點C到對稱軸x=3的距離為2，2＞ ，

∴拋物線的對稱軸l與⊙C相離

（3）

解：存在．理由如下：

有兩種情況：

（i）如答圖②所示，

點P在x軸上方．

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC為等腰直角三角形，∠OCA=45°；

∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．

過點P作PF⊥x軸于點F，則△PCF為等腰直角三角形．

設點P坐標為（m，n），則有OF=m，PF=CF=n，

OC=OF+CF=m+n=5 ①

又點P在拋物線上，

∴n=﹣m2+6m﹣5 ②

聯立①②式，解得：m=2或m=5．

當m=5時，點P與點C重合，故舍去，

∴m=2，

∴n=3，

∴點P坐標為（2，3）；

（ii）如答圖③所示，

點P在x軸下方．

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC為等腰直角三角形，∠OAC=45°；

過點P作PF⊥y軸于點F，

∵PA⊥AC，

∴∠PAF=45°，即△PAF為等腰直角三角形．

設點P坐標為（m，n），則有PF=AF=m，OF=﹣n=OA+AF=5+m，

∴m+n=﹣5 ①

又點P在拋物線上，

∴n=﹣m2+6m﹣5 ②

聯立①②式，解得：m=0或m=7．

當m=0時，點P與原點重合，故舍去，

∴m=7，

∴n=﹣12，

∴點P坐標為（7，﹣12）．

綜上所述，存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．點P的坐標為（2，3）或（7，﹣12）．

【解析】（1）由頂點式，利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）判斷直線與圓的位置關系，關鍵是分析圓的半徑r和圓心到直線距離d之間的大小關系．由題意可知d=2，由相似三角形求得r= ，因為2＞ ，所以可判定拋物線的對稱軸l與⊙C相離；（3）本問是存在性問題．點P有兩種情況，分別位于x軸上方與下方，需要分類討論，注意不要漏解；在求點P坐標時，需要充分利用幾何圖形（等腰直角三角形）的性質，以及拋物線上點的坐標特征．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．