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在直角坐標(biāo)系中有兩條直線:l1:y=
12
x+2和l2:y=-2x+4,它們的交點(diǎn)為E,直線l1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,直線l2與x軸、y軸分別交于C、D.
(1)求證:△AOB≌△DOC;
(2)若點(diǎn)P(x,y)是直線L2上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)△APC的面積為S,求S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;求出當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△APC的面積是6;
(3)在(2)的條件下過點(diǎn)P作直線MN∥x軸,交l1于點(diǎn)M,寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及此時(shí)線段MP的長.
分析:(1)先根據(jù)直線l1與直線l2的解析式,分別求出A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),得出OA=OD=4,OB=OC=2,再由∠AOB=∠DOC=90°,根據(jù)SAS即可證明△AOB≌△DOC;
(2)先求出AC=OA+OC=6,再根據(jù)三角形的面積公式得出△APC的面積S=
1
2
AC•|yP|=-6x+12,求出S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式為S=-6x+12,根據(jù)點(diǎn)P(x,y)是直線l2上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),得到自變量x的取值范圍;再將S=6代入S=-6x+12,解方程即可求解;
(3)先由過點(diǎn)P(1,2)的直線MN∥x軸,得出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,將y=2代入直線l1的解析式,求得x=0,得到M點(diǎn)與B點(diǎn)重合,即可求解.
解答:解:(1)對于直線l1:y=
1
2
x+2,當(dāng)x=0時(shí),y=2;當(dāng)y=0時(shí),x=-4;則A(-4,0),B(0,2);
對于直線l2:y=-2x+4,當(dāng)x=0時(shí),y=4;當(dāng)y=0時(shí),x=2;則C(2,0),D(0,4);
∴OA=OD=4,OB=OC=2.
在△AOB與△DOC中,
OA=OD
∠AOB=∠DOC=90°
OB=OC
,
∴△AOB≌△DOC(SAS);

(2)∵點(diǎn)P(x,y)是直線l2上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
∴0<x<2,0<y<4.
又∵AC=OA+OC=4+2=6,
∴△APC的面積S=
1
2
AC•|yP|=
1
2
×6(-2x+4)=-6x+12,
∴S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式為S=-6x+12(0<x<2);
當(dāng)S=6時(shí),-6x+12=6,
解得x=1,此時(shí)y=-2×1+4=2,
∴當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到(1,2)時(shí),△APC的面積是6;

(3)如圖,∵過點(diǎn)P(1,2)作直線MN∥x軸,交l1于點(diǎn)M,
∴M點(diǎn)與P點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,都是2,
當(dāng)y=2時(shí),
1
2
x+2=2,解得x=0,
∴M(0,2),即M點(diǎn)與B點(diǎn)重合,
∴MP=BP=1.
點(diǎn)評:本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,全等三角形的判定,三角形的面積,平行于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及兩點(diǎn)之間的距離,難度適中.
練習(xí)冊系列答案
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22、在直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1、l2,直線l1所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x-2,如果將坐標(biāo)紙折疊,使l1與l2重合,此時(shí)點(diǎn)(-1,0)與點(diǎn)(0,-1)也重合,則直線l2所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為( �。�

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A.y=x-2
B.y=x+2
C.y=-x-2
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A.y=x-2
B.y=x+2
C.y=-x-2
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A.y=x-2B.y=x+2C.y=-x-2D.y=-x+2

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同步練習(xí)冊答案
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