如圖,在四邊形ABCD中,∠DAE=∠ABC= 90°,CD與以AB為直徑的半圓相切于點E,EF⊥AB于點F,EF交BD于點G。設(shè)AD=a,BC =b。

求CD的長度(用a,b表示);

求EG的長度(用a,b表示);

試判斷EG與FG是否相等,并說明理由。

 

 

 

【答案】

解:(1)∵∠DAE=∠ABC= 90°,∴DA⊥AB,CB⊥AB。

                 又∵AB為⊙O的直徑,∴DA、CB為⊙O的切線。

                 又∵CD是⊙O的切線,AD=a,BC =b,

                 ∴DE= AD=a,CE= BC =b(切線長定理)�!郈D= DE+CE= a+b。

(2)∵EF⊥AB,CB⊥AB,∴EF∥CB�!唷鱀EG∽△DCB。

     ∴,即�!�

(3)相等。理由如下:

∵EF⊥AB,CB⊥AB,DA⊥AB,∴DA∥EF∥CB。

,且△BGF∽△BDA。∴,即�!�

∴EG=FG。

【解析】切線的判定和性質(zhì),切線長定理,平行的判定和性質(zhì),平行線分線段成比例定理,相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】(1)由已知可得DA、CB和CD都要為⊙O的切線,根據(jù)切線長定理即可得出結(jié)果。

        (2)由EF⊥AB,CB⊥AB 可得EF∥CB,從而根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得EG的長度。

        (3)由DA∥EF∥CB,根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定和性質(zhì)可求得FG的長度,與EG的長度比較即可得出結(jié)論。

 

練習冊系列答案
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(2013•赤峰)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒(0<t≤15).過點D作DF⊥BC于點F,連接DE,EF.
(1)求證:AE=DF;
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值,如果不能,說明理由;
(3)當t為何值時,△DEF為直角三角形?請說明理由.

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已知:如圖,在四邊形ABC中,AD=BC,AB=CD.求證:AB∥CD,AD∥BC.

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