Question

如圖，O是菱形ABCD的對角線的交點，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于點E．
（1）求證：四邊形OCED是矩形；
（2）若菱形ABCD的周長為20，矩形OCED的周長為14，求菱形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD
∴四邊形OCED為平行四邊形，
∵AC，BD為菱形的對角線，
∴AC⊥BD，即∠COD=90°，
∴平行四邊形OCED為矩形．

（2）菱形ABCD的周長為20，
則菱形的邊長為5，即=5，
矩形OCED的周長為14，
則OC+OD=7，
解題OC=3，OD=4，
∴AC=6，BD=8，
∴菱形的面積為×6×8=24．
答：菱形ABCD的面積為 24．
分析：（1）易證四邊形OCED為平行四邊形，菱形對角線互相垂直，根據有一個內角為90°的平行四邊形可以證明四邊形為矩形；（2）根據菱形的周長可以求得菱形的邊長，根據矩形的周長計算菱形對角線長，即可計算菱形的面積，即可解題．
點評：本題考查了菱形對角線互相垂直平分的性質，考查了矩形的判定，考查了菱形各邊長相等的性質，本題中根據OC，OD的關系求得OC，OD的值是解題的關鍵．