Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣mx的圖象與直線y=﹣1相切． （Ⅰ）求m的值，并求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=ax3 ， 設h（x）=f（x）﹣g（x），討論函數(shù)h（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（I）設f（x）的圖象與直線y=﹣1相切于點（x0 ， ﹣1），（x0＞0）， f′（x）=lnx+1﹣m，（x＞0）
則 即
解得：x0=1，m=1，
由f′（x）=lnx＞0得x＞1；f′（x）=lnx＜0得0＜x＜1；
所以函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為（0，1）；增區(qū)間為（1，+∞），
（II）h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣x﹣ax3=x（lnx﹣1﹣ax2）（x＞0）．
由h（x）=0得 ；
∴ ．
記函數(shù) ，

由r′（x）＞0得 ；r′（x）＜0得 ，
∴r（x）在 上單調遞增；在 上單調遞減，
∴ ，
又 時，r（x）＞0；x∈（0，e）時，r（x）＜0；且x趨向于0時r（x）趨向于負無窮大．
∴當a＞ 時，y=a與y=r（x）的圖象無交點，函數(shù)h（x）無零點；
當a≤0或a= 時，y=a與y=r（x）的圖象恰有一個交點，函數(shù)h（x）恰有一個零點；
當0＜a＜ 時，y=a與y=r（x）的圖象恰有兩個交點，函數(shù)h（x）恰有兩個個零點
【解析】（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，利用導數(shù)的幾何意義，從而可求m的值和函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）構造函數(shù)，利用導數(shù)，求出函數(shù)的最值，再分類討論即可得到函數(shù)零點的個數(shù)
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．