設(shè)n和m為任意正整數(shù)，有只棋子叫（n，m）鱷魚(yú)，每步橫行n格然后直行m格，或直行n格然后橫行m格．求證在無(wú)限大的方格棋盤(pán)上，可用黑白兩色涂在方格上，使這棋子每步不是從白格走到黑格，就是從黑格走到白格．
分析：設(shè)（n，m）=d，n=ad，m=bd，（a，b）=1，先將棋盤(pán)分割成d×d塊，每塊中的d2個(gè)方格彼此同色，再以各塊的中心為格點(diǎn)，d為邊長(zhǎng)作格點(diǎn)陣（每個(gè)格點(diǎn)代表d×d塊），然后對(duì)a，b的奇偶進(jìn)行分類討論，最后根據(jù)奇偶的特性得到起點(diǎn)和終點(diǎn)有不同色．
解答：證明：設(shè)（n，m）=d，n=ad，m=bd，（a，b）=1，
先將棋盤(pán)分割成d×d塊，每塊中的d2個(gè)方格彼此同色，再以各塊的中心為格點(diǎn)，d為邊長(zhǎng)作格點(diǎn)陣（每個(gè)格點(diǎn)代表d×d塊），
（1）若a，b為一奇一偶，依國(guó)際象棋盤(pán)方式間隔染色，
即當(dāng)x+y為偶數(shù)時(shí)將（x，y）染黑色，而x+y為奇數(shù)時(shí)，將（x，y）染白色，由于a+b為奇數(shù)．
故（n，m）每步的起點(diǎn)（x，y）與終點(diǎn)（x±a，y±b）或（x±b，y±a）的坐標(biāo)和不同奇偶，從而不同色．
（2）若a，b同為奇數(shù)，依x的奇偶間隔染色（同一x的整個(gè)豎直條同色），
同樣因?yàn)槊坎絰與x±a或y±b不同奇偶，從而起點(diǎn)與終點(diǎn)不同色，
故在無(wú)限大的方格棋盤(pán)上，可用黑白兩色涂在方格上，使這棋子每步不是從白格走到黑格，就是從黑格走到白格．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查染色問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)，證明本題的關(guān)鍵是對(duì)a，b進(jìn)行奇偶數(shù)分類討論，此題的難度較大，特別是熟練掌握染色的原理．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有一臺(tái)單功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算，其運(yùn)算過(guò)程是：輸入第一個(gè)整數(shù)x1，只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)x2后則顯示|x1-x2|的結(jié)果．比如依次輸入1，2，則輸出的結(jié)果是|1-2|=1；此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算．
（1）若小明依次輸入3，4，5，則最后輸出的結(jié)果是
4
4
；
（2）若小明將1到2011這2011個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設(shè)為m，則m的最大值為
2010
2010
；
（3）若小明將1到n（n≥3）這n個(gè)正整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設(shè)為m．探究m的最小值和最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新課標(biāo)教材導(dǎo)學(xué)　　數(shù)學(xué)七年級(jí)(第一學(xué)期) 題型：044

　　四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積再加上1一定是一個(gè)完全平方數(shù)．完全平方數(shù)是這樣一種數(shù)：它可以寫(xiě)成一個(gè)正整數(shù)的平方．例如：16是4的平方，81是9的平方．

我們看下面的例子：

　　1·2·3·4＋1＝25(＝52)；2·3·4·5＋1＝121(＝112)；

　　3·4·5·6＋1＝361(＝192)；

　　如果我們?cè)O(shè)四個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè)是n，那么這四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積加上1的和可以表示為n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1，它的結(jié)果是n2＋3n＋1的平方，因?yàn)閚為自然數(shù)，所以n2＋3n＋1也是一個(gè)自然數(shù)，即：

　　n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2．①

　　學(xué)到整式的乘法時(shí)，我們還可以證明這個(gè)等式成立．

　　當(dāng)n取任意自然數(shù)代入①，不僅可以知道n(n＋l)(n＋2)(n＋3)＋1是一個(gè)完全平方數(shù)，還可以知道它是什么數(shù)的平方．

　　你可以算一算：20·21·22·23＋1＝？，50·51·52·53＋1＝？

　　同學(xué)們，根據(jù)同樣的道理，四個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))的積再加上16是一個(gè)完全平方數(shù)嗎？請(qǐng)你試一試．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

有一臺(tái)單功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算，其運(yùn)算過(guò)程是：輸入第一個(gè)整數(shù)x1，只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)x2后則顯示|x1-x2|的結(jié)果．比如依次輸入1，2，則輸出的結(jié)果是|1-2|=1；此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算．
（1）若小明依次輸入3，4，5，則最后輸出的結(jié)果是______；
（2）若小明將1到2011這2011個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設(shè)為m，則m的最大值為_(kāi)_____；
（3）若小明將1到n（n≥3）這n個(gè)正整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設(shè)為m．探究m的最小值和最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有一臺(tái)單功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算，其運(yùn)算過(guò)程是：輸入第一個(gè)整數(shù)，只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)后則顯示的結(jié)果．比如依次輸入1，2，則輸出的結(jié)果是=1；此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算．

（1）若小明依次輸入3,4,5，則最后輸出的結(jié)果是_______；

（2）若小明將1到2011這2011個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)的輸入，全部輸入完畢后顯示的

最后結(jié)果設(shè)為m，則m的最大值為_(kāi)______；

（3）若小明將1到n（n≥3）這n個(gè)正整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設(shè)為m. 探究m的最小值和最大值.

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