Question

【題目】已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點.

（1）求此拋物線的表達式及頂點的坐標(biāo)；

（2）若點是軸上方拋物線上的一個動點（與點不重合），過點作軸于點，交直線于點，連結(jié).設(shè)點的橫坐標(biāo)為.

①試用含的代數(shù)式表示的長；

②直線能否把分成面積之比為1：2的兩部分？若能，請求出點的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

（3）如圖2，若點也在此拋物線上，問在軸上是否存在點，使？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），頂點坐標(biāo)為：；（2）①；②能，理由見解析，點的坐標(biāo)為；（3）存在，點Q的坐標(biāo)為：或.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，然后把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式即可得出拋物線的頂點坐標(biāo)；

（2）①先利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達式，再設(shè)出點D、E的坐標(biāo)，然后分點D在y軸右側(cè)和y軸左側(cè)利用或列式化簡即可；

②根據(jù)題意容易判斷：點D在y軸左側(cè)時，不存在這樣的點；當(dāng)點D在y軸右側(cè)時，分或兩種情況，設(shè)出E、F坐標(biāo)后，列出方程求解即可；

（3）先求得點M、N的坐標(biāo)，然后連接CM，過點N作NG⊥CM交CM的延長線于點G，即可判斷∠MCN=45°，則點C即為符合題意的一個點Q，所以另一種情況的點Q應(yīng)為過點C、M、N的⊙H與y軸的交點，然后根據(jù)圓周角定理的推論、等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出CQ的長，進而可得結(jié)果.

解：（1）∵拋物線與軸交于點，

∴設(shè)拋物線的表達式為：，

把點代入并求得：，

∴拋物線的表達式為：，

即，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為：；

（2）①設(shè)直線的表達式為：，則，解得：，

∴直線的表達式為：，

設(shè)，則，

當(dāng)時，∴，

當(dāng)時，，

綜上：，

②由題意知：當(dāng)時，不存在這樣的點；

當(dāng)時，或，

∵，∴，

∴，解得（舍去），∴，

或，解得（舍去），（舍去），

綜上，直線能把分成面積之比為1：2的兩部分，且點的坐標(biāo)為；

（3）∵點在拋物線上，∴，∴，

連接MC，如圖，∵C（0，6），M（1，6）∴MC⊥y軸，過點N作NG⊥CM交CM的延長線于點G，∵N（2，4），∴CG=NG=2，∴△CNG是等腰直角三角形，∴∠MCN=45°，則點C即為符合題意的一個點Q，∴另一種情況的點Q應(yīng)為過點C、M、N的⊙H與y軸的交點，連接HN，

∵，∴MN=，CM=1，

∵，∴∠MHN=90°，則半徑MH=NH=，

∵∠MCQ=90°，∴MQ是直徑，且，∴，

∵OC=6，∴OQ=3，∴Q（0，3）；

綜上，在軸上存在點，使，且點Q的坐標(biāo)為：或.