【答案】
分析:(1)利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式,根據(jù)A點坐標用勾股定理求出線段OA的長度;
(2)如答圖1,過點Q作QG⊥y軸于點G,QH⊥x軸于點H,構造相似三角形△QHM與△QGN,將線段QM與線段QN的長度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/0.png)
為定值.需要注意討論點的位置不同時,這個結論依然成立;
(3)由已知條件角的相等關系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED.設OE=a,則由相似邊的比例關系可以得到m關于x的表達式m=-
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a
2+
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a(0<a<3
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),這是一個二次函數(shù).借助此二次函數(shù)圖象(如答圖3),可見m在不同取值范圍時,a的取值(即OE的長度,或E點的位置)有1個或2個.這樣就將所求解的問題轉(zhuǎn)化為分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題.
另外,在相似三角形△ABE與△OED中,運用線段比例關系之前需要首先求出AB的長度.如答圖2,可以通過構造相似三角形,或者利用一次函數(shù)(直線)的性質(zhì)求得AB的長度.
解答:解:(1)把點A(3,6)代入y=kx 得;
∵6=3k,
∴k=2,
∴y=2x.(2分)
OA=
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.…(3分)
(2)
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是一個定值,理由如下:
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如答圖1,過點Q作QG⊥y軸于點G,QH⊥x軸于點H.
①當QH與QM重合時,顯然QG與QN重合,
此時
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;
②當QH與QM不重合時,
∵QN⊥QM,QG⊥QH
不妨設點H,G分別在x、y軸的正半軸上,
∴∠MQH=∠GQN,
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…(5分),
∴
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,
當點P、Q在拋物線和直線上不同位置時,同理可得
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. …(7分)①①
(3)如答圖2,延長AB交x軸于點F,過點F作FC⊥OA于點C,過點A作AR⊥x軸于點R
∵∠AOD=∠BAE,
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∴AF=OF,
∴OC=AC=
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OA=
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∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,
∴△AOR∽△FOC,
∴
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,
∴OF=
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,
∴點F(
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,0),
設點B(x,
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),
過點B作BK⊥AR于點K,則△AKB∽△ARF,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/15.png)
,
即
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,
解得x
1=6,x
2=3(舍去),
∴點B(6,2),
∴BK=6-3=3,AK=6-2=4,
∴AB=5 …(8分);
(求AB也可采用下面的方法)
設直線AF為y=kx+b(k≠0)把點A(3,6),點F(
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,0)代入得
k=
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,b=10,
∴
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,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/20.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/21.png)
(舍去),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/22.png)
,
∴B(6,2),
∴AB=5…(8分)
(其它方法求出AB的長酌情給分)
在△ABE與△OED中
∵∠BAE=∠BED,
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB,
∴∠ABE=∠DEO,
∵∠BAE=∠EOD,
∴△ABE∽△OED.…(9分)
設OE=a,則AE=
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-a(0<a<3
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),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/images27.png)
由△ABE∽△OED得
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,
∴
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=
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,
∴m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/28.png)
a(3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/29.png)
-a)=-
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a
2+
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a(0<a<3
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),
∴頂點為(
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,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/34.png)
)
如答圖3,當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/35.png)
時,OE=a=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/36.png)
,此時E點有1個;
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/37.png)
時,任取一個m的值都對應著兩個a值,此時E點有2個.
∴當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101192730946481558/SYS201311011927309464815024_DA/38.png)
時,E點只有1個…(11分)
當
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時,E點有2個…(12分).
點評:本題是中考壓軸題,難度較大,解題核心是相似三角形與拋物線的相關知識,另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識點.解題的難點在于轉(zhuǎn)化思想的運用,本題第(2),(3)問都涉及到了問題的轉(zhuǎn)化,要求同學們能夠?qū)⑺蠼獾膯栴}轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學問題,利用自己所熟悉的數(shù)學知識去解決問題,否則解題時將不知道從何下手而導致失分.