Question

已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，點(diǎn)F在AD上，BF的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABD≌△CFD．
（2）求證：BE⊥AC；
（3）設(shè)CE的長(zhǎng)為m，用含m的代數(shù)式表示AC+BF．

Answer 1

分析：（1）由AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，根據(jù)ASA，即可判定：△ABD≌△CFD；
（2）由△ABD≌△CFD，可得BD=DF，繼而可得△BDF與△ACD是等腰直角三角形，則可求得∠AEF=90°，證得BE⊥AC；
（3）易得AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m．

解答：（1）證明：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△CFD中，

∠BAD=∠FCD AD=CD ∠ADB=∠CDF

，
∴△ABD≌△CFD（ASA），

（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∴∠FBD=∠BFD=45°，
∴∠AFE=∠BFD=45°，
又∵AD=DC，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠AEF=90°，
∴BE⊥AC．

（3）解：∵∠EBC=∠ACD=45°，CE=m，
∴BE=CE=m，
又∵∠AFE=∠FAE=45°，
∴AE=FE，
∴AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．