Question

在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在DC的延長線上，且

DE

BD

=k，過E作EF∥AB交AC的延長線于F．
（1）如圖1，當(dāng)k=1時，求證：AF+EF=AB；
（2）如圖2，當(dāng)k=2時，直接寫出線段AF、EF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系：

AF+EF=2AB

；
（3）如圖3，當(dāng)

DE

BD

=k時，請猜想線段AF、EF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系（含k），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）延長AD、EF交于點G，當(dāng)k=1時，DE=BD，再根據(jù)∠BDA=∠EDG，BD=ED，證出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因為∠BAD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，
即可證出AF+EF=AB；
（2）當(dāng)k=2時，同（1）可得△ABD∽△GED，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)

DE

BD

=k時，同（1）可得△ABD∽△GED，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖1，延長AD、EF交于點G，
當(dāng)k=1時，DE=BD
∵EF∥AB，
∴∠BAD=∠EGD，
在△ABD與△GED中，

∠BAD=∠EGD ∠BDA=∠EDC BD=ED

，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB=GE，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠FGD=∠DAC，
∴AF=GF，
∴AF+EF=AB；

（2）解：如圖2，延長AD、EF交于點G，當(dāng)k=2時，
∵EF∥AB，
∴∠BAD=∠EGD，
又∵∠BDA=∠EDG，
∴△ABD∽△GED，
∴

GE

AB

=

DE

BD

=2，即GE=2AB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠FGD=∠DAC，
∴AF=GF，
∴AF+EF=2AB；

（3）猜想：AE+EF=kAB．
證明：如圖3，延長AD、EF交于點G，當(dāng)

DE

BD

=k時，
∵EF∥AB，
∴∠BAD=∠EGD，
又∵∠BDA=∠EDG，
∴△ABD∽△GED，
∴

GE

AB

=

DE

BD

=k，即GE=kAB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠FGD=∠DAC，
∴AF=GF，
∴AF+EF=kAB．

點評：本題考查的是相似三角形綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．