Question

已知關于x的方程．

（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；

（2）若此方程的一個根是3，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）4＋或4＋.

【解析】

試題分析：（1）根據關于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判別式的符號來證明結論；（2）根據一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數的關系求得方程的另一根，分類討論：①當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時，由勾股定理求出得該直角三角形的另一邊，再根據三角形的周長公式進行計算.

試題解析：（1）∵△=（m＋2）²－4（2m－1）=（m－2）²＋4，

∴在實數范圍內，m無論取何值，（m－2）²+4≥4＞0，即△＞0.

∴關于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有兩個不相等的實數根.

（2）∵此方程的一個根是3，∴3²－3×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2.

則方程的另一根為：m＋2－3=1.

①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為，該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋；

②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋.

考點：1.一元二次方程根的判別式和根與系數的關系；2.一元二次方程的解；3.勾股定理；4.分類思想的應用.