Question

【題目】關(guān)于x的二次函數(shù)（k為常數(shù)）和一次函數(shù)．

（1）求證：函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)．

（2）已知函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)間的距離等于3，

①試求此時k的值．

②若，試求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①k1＝1，k2＝；②當(dāng)k＝1時x＜– 2或 x＞2，當(dāng)k＝時，10＜x＜– 2．

【解析】

（1）證明△=b2-4ac≥0，便可得結(jié)論；
（2）①函數(shù)y1的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)間的距離等于3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出k的方程，便可求解；
②分k=1和k=兩種情況，依據(jù)y1＞y2列出關(guān)于x的不等式，解之可得．

解：（1）證明：△＝(2k1)2＋8 k＝4k24k＋1＋8k＝(2k＋1)2≥0，

∴函數(shù)y1＝kx2＋(2k1) x 2的圖象與x軸有交點(diǎn)．

（2）解：①設(shè)的兩根為，，則，，

，

函數(shù)的圖象與軸的兩個交點(diǎn)間的距離等于3，

，

，

解得，或；

②I.當(dāng)k＝1時，y1＝ x2＋ x – 2，畫出y1＝ x2＋ x – 2和y2＝x＋2的圖象，如圖1所示，

由圖知，y1與y2的交點(diǎn)分別為(2，0)和 (2，4)，

∴當(dāng)y1＞y2時x＜– 2或 x＞2；

II.當(dāng)k＝時，y1＝x2x – 2，

畫出y1＝x2x – 2和y2＝x＋2的圖象，如圖2所示，

由圖知，y1與y2的交點(diǎn)分別為(2，0)和 (10，8)，

∴當(dāng)y1＞y2時10＜x＜– 2．

綜上所述，當(dāng)k＝1時x＜– 2或 x＞2，當(dāng)k＝時，10＜x＜– 2．