Question

（本題滿分12分）如圖，拋物線y=－++4的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC．

（1）點A的坐標為_______ ，點C的坐標為_______ ；

（2）線段AC上是否存在點E，使得△EDC為等腰三角形?若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時，相應的點P有且只有2個?

Answer 1

（1）A（0,4） C（8,0）；（2）（0，4）、（8-2，）；（3）S=16．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)x=0和y=0分別求出點A和點C的坐標；（2）首先求出點D的坐標，CD的長度和直線AC的解析式，然后分DE=DC，DE=EC和DC=EC三種情況分別求出點E的坐標；（3）首先設出點P和點Q的坐標，然后列出面積的函數(shù)關系式，然后進行求解．

試題解析：（1）A（0,4） C（8,0）

（2）易得D（3，0），CD=5， 設直線AC對應的函數(shù)關系式為y=kx+b，則：

解得：； ∴y=-x+4；

①DE=DC時，

∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴（0，4）；

②過E點作EG⊥x軸于G點，當DE=EC時，由DG=，

把x=OD+DG=3+=代入到y(tǒng)=-x+4，求出y=， 可得；

③當DC=EC時，如圖，過點E作EG⊥CD， 則△CEG∽△CAO，

∴，又OA=4，OC=8，則AC=4，DC=EC=5， ∴EG=，CG=2，

∴（8-2，）；

綜上所述，符合條件的E點共有三個：（0，4）、（8-2，）

（3）如圖，過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC與點Q；

設P（m，-+m+4），則Q（m，-m+4）．

①當0＜m＜8時，

PQ=（-+m+4）-（-m+4）=-+2m，

S=+=×8×（-+2m）=-+16， ∴0＜S≤16；

②當-2≤m＜0時，

PQ=（-m+4）-（-+m+4）=－2m，

S=-=×8×（－2m）=-16，

∴0＜S＜20；

∴當0＜S＜16時，0＜m＜8中有m兩個值，-2＜m＜0中m有一個值，此時有三個；

當16＜S＜20時，-2＜m＜0中m只有一個值；

當S=16時，m=4或m=4-4這兩個． 故當S=16時，相應的點P有且只有兩個．

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．

考點分析： 考點1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，a是不等于0的實數(shù)，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結構特征：
①函數(shù)的關系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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