Question

已知，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接OA，OB，OC.

（1） 如圖1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC.

①∠DAO的度數(shù)是              ；

②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2） 設(shè)∠AOB=α，∠BOC=β.

①當(dāng)α，β滿足什么關(guān)系時(shí)，OA+OB+OC有最小值？請?jiān)趫D2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；

②若等邊△ABC的邊長為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值.

           

Answer 1

解：（1）①90°.  

            ②線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是. 

如圖1，連接OD.

∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，

∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°.

∴CD = OC,∠ADC =∠BOC=120°, AD= OB.

∴△OCD是等邊三角形.

∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°.

∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，

∴∠AOC=90°.

∴∠AOD=30°，∠ADO=60°.

∴∠DAO=90°.

在Rt△ADO中，∠DAO=90°，

∴.

              ∴.    

       （2）①如圖2，當(dāng)α=β=120°時(shí)，OA+OB+OC有最小值.

              作圖如圖2的實(shí)線部分.  

如圖2，將△AOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△A’O’C，連接OO’.

∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60°.

∴O’C= OC, O’A’ = OA，A’C = BC,

∠A’O’C =∠AOC.

∴△OC O’是等邊三角形.

∴OC= O’C = OO’，∠COO’=∠CO’O=60°.

∵∠AOB=∠BOC=120°，

∴∠AOC =∠A’O’C=120°.

∴∠BOO’=∠OO’A’=180°.

∴四點(diǎn)B，O，O’，A’共線.

∴OA+OB+OC= O’A’ +OB+OO’ =BA’ 時(shí)值最小.   

         ②當(dāng)?shù)冗叀?i>ABC的邊長為1時(shí)，OA+OB+OC的最小值A’B=.