Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有點A（1，6）、點B （6，1）、點C（1，1）三點．
（1）若點A在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上．
①求m的值及直線AB的解析式；
②求三角形OAB的面積；
③在y軸是否存在一點P使△OCP為等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
④如果一個點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么我們稱這個點是格點．請直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的坐標(biāo)．
（2）若函數(shù)y=（x＞0）的圖象與△ABC有公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①將A（1，6）代入反比例解析式得：6=，即m=6；
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
將A（1，6），B（6，1）代入得：，
解得：，
則直線AB的解析式為y=-x+7；
②連接OA，OB，由題意得：AD=OE=6，OD=BE=1，DE=OE-OD=5，
則S_△OAB=S_△AOD+S_梯形ADEB-S_△BEO
=×1×6+×5×（1+6）-×1×6
=；
③如圖所示，
當(dāng)OP₁=P₁C=1時，△OP₁C為等腰三角形，此時P₁（0，1）；
當(dāng)CP₂=OC=時，△OP₂C為等腰三角形，此時P₂（0，2）；
當(dāng)OP₃=OC=時，△OP₃C為等腰三角形，此時P₃（0，）；
當(dāng)OP₄=OC=時，△OP₄C為等腰三角形，此時P₄（0，-）；
綜上，P的坐標(biāo)為（0，1）或（0，2）或（0，）或（0，-）；
④根據(jù)圖形得：格點坐標(biāo)（2，4），（3，3），（4，2）；
（2）當(dāng)雙曲線經(jīng)過點C（1，1）時，m=1；
當(dāng)雙曲線經(jīng)過AB中點（，）時，m=，
則函數(shù)y=（x＞0）的圖象與△ABC有公共點時m的取值范圍是1≤m≤．
分析：（1）①把點A （1，6）代入函數(shù)y=（x＞0）求出m的值；設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A與B代入求出k與b的值，即可確定出直線AB的解析式；
②連接OA，OB，三角形AOB面積=三角形AOD面積+梯形ADEB面積-三角形OBE面積，求出即可；
③如圖所示，分四種情況考慮：當(dāng)OP₁=P₁C=1時，△OP₁C為等腰三角形；當(dāng)CP₂=OC=時，△OP₂C為等腰三角形；當(dāng)OP₃=OC=時，△OP₃C為等腰三角形；當(dāng)OP₄=OC=時，△OP₄C為等腰三角形，分別求出對應(yīng)P的坐標(biāo)即可；
④由圖象找出滿足題意的格點坐標(biāo)即可；
（2）抓住兩個關(guān)鍵點，一是反比例函數(shù)圖象過AB中點時，一是反比例函數(shù)圖象過C點時，分別求出對應(yīng)m的值，即可確定出滿足題意m的范圍．
點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題．