Question

【題目】若點P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．當三角形的最大角小于120°時，可以證明費馬點就是“到三角形的三個頂點的距離之和最小的點“．即PA+PB+PC最小．

（1）如圖1，向△ABC外作等邊三角形△ABD，△AEC．連接BE，DC相交于點P，連接AP．

①證明：點P就是△ABC費馬點；

②證明：PA+PB+PC＝BE＝DC；

（2）如圖2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．點O是△MNG內一點，則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①證詳見解析；②詳見解析；（2）．

【解析】

（1）①如圖1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N設AB交 CD于O．證明△ADC≌△ABE（SAS）即可解決問題．

②在線段PDA上取一點T，使得PA＝PT，連接AT．證明△DAT≌△BAP（SAS），推出PD＝PA+PB即可解決問題．

（2）以MG為邊作等邊三角形△MGD，以OM為邊作等邊△OME．連接ND，可證△GMO≌△DME，可得GO＝DE，則MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即當D、E、O、N四點共線時，MO+NO+GO值最小，最小值為ND的長度，根據(jù)勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的長度，即可求MO+NO+GO的最小值．

（1）①如圖1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N設AB交 CD于O．

∵△ADB，△ACE都是等邊三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，

∴∠DAB＝∠BAE，

∴△ADC≌△ABE（SAS），

∴CD＝BE，S△DAC＝S△ABE，∠ADC＝∠ABE，

∵AM⊥CD，AN⊥BE，

∴CDAM＝BEAN，

∴AM＝AN，

∴∠APM＝∠APN，

∵∠AOD＝∠POB，

∴∠OPB＝∠DAO＝60°，

∴∠APN＝∠APM＝60°，

∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，

∴點P是就是△ABC費馬點．

②在線段PDA上取一點T，使得PA＝PT，連接AT．

∵∠APT＝60°，PT＝PA，

∴△APT是等邊三角形，

∴∠PAT＝60°，AT＝AP，

∵∠DAB＝∠TAP＝60°，

∴∠DAT＝∠BAP，∵AD＝AB，

∴△DAT≌△BAP（SAS），

∴PB＝DT，

∴PD＝DT+PT＝PA+PB，

∴PA+PB+PC＝PD+PC＝CD＝BE．

（2）如圖2：以MG為邊作等邊三角形△MGD，以OM為邊作等邊△OME．連接ND，作DF⊥NM，交NM的延長線于F．

∵△MGD和△OME是等邊三角形

∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，

∴∠GMO＝∠DME

在△GMO和△DME中，

，

∴△GMO≌△DME（SAS），

∴OG＝DE

∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO

∴當D、E、O、M四點共線時，NO+GO+MO值最小，

∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，

∴∠NMD＝135°，

∴∠DMF＝45°，

∵MG＝3

∴MF＝DF＝，

∴NF＝MN+MF＝4＝，

∴ND＝＝＝，

∴MO+NO+GO最小值為，

故答案為，