Question

已知拋物線與x軸交于不同的兩點A（x₁，0）和B（x₂，0），與y軸交于點C，且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個根（x₁＜x₂）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點A作AD∥CB交拋物線于點D，求四邊形ACBD的面積；
（3）如果P是線段AC上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作平行于x軸的直線l交BC于點Q，那么在x軸上是否存在點R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）解方程x²-2x-3=0，
得x₁=-1，x₂=3．
∴點A（-1，0），點B（3，0）．
∴，
解，得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．

（2）∵拋物線與y軸交于點C．
∴點C的坐標為（0，2）．
又點B（3，0），可求直線BC的解析式為y=-x+2．
∵AD∥CB，
∴設直線AD的解析式為y=-x+b′．
又點A（-1，0），
∴b′=-，直線AD的解析式為y=-x-．
解，
得，
∴點D的坐標為（4，）．
過點D作DD’⊥x軸于D’，DD’=，則又AB=4．
∴四邊形ACBD的面積S=AB•OC+AB•DD’=．

（3）假設存在滿足條件的點R，設直線l交y軸于點E（0，m），
∵點P不與點A、C重合，
∴0＜m＜2，
∵點A（-1，0），點C（0，2），
∴可求直線AC的解析式為y=2x+2，
∴點P（m-1，m）．
∵直線BC的解析式為y=-x+2，
∴點Q（-m+3，m）．
∴PQ=-2m+4．在△PQR中，
①當RQ為底時，過點P作PR₁⊥x軸于點R₁，則∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
∴-2m+4=m，
解得m=，
∴點P（-，），
∴點R₁坐標為（，0）．
②當RP為底時，過點Q作QR₂⊥x軸于點R₂，
同理可求，點R₂坐標為（1，0）．
③當PQ為底時，取PQ中點S，過S作SR₃⊥PQ交x軸于點R₃，
則PR₃=QR₃，∠PR₃Q=90度．
∴PQ=2R₃S=2m．
∴-2m+4=2m，
解，得m=1，
∴點P（-，1），點Q（，1），可求點R₃坐標為（，0）．
經(jīng)檢驗，點R₁，點R₂，點R₃都滿足條件．
綜上所述，存在滿足條件的點R，它們分別是R₁（，0），R₂（1，0）和點R₃（，0）．
分析：（1）可通過解方程求出A、B的坐標，代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．（由于A、B的坐標是方程的兩個根，那么拋物線的解析式其實就是二次項系數(shù)與方程的代數(shù)式部分的乘積）．
（2）可將四邊形分成三角形ABC和ABD兩部分求解，已知了AB的長，關鍵是求出C、D的坐標，根據(jù)拋物線的解析式即可得出C點的坐標．求D點坐標時，可先求出直線BC的解析式，根據(jù)BC∥AD，那么直線AD與直線BC的斜率相同，根據(jù)A點坐標即可求出直線AD的解析式，聯(lián)立拋物線即可求出D點的坐標，然后按上面所說的四邊形的面積求法進行計算即可．
（3）先根據(jù)直線AC、BC的解析式設出P、Q的坐標（由于P、Q的縱坐標相同，因此可設縱坐標，然后根據(jù)直線解析式表示出橫坐標）．分三種情況：
①PQ=PR，此時P點縱坐標與PQ的長相等，據(jù)此可求出P點的坐標．進而可求出R的坐標．
②PQ=QR，同①
③PR=QR，R在PQ的垂直平分線上，此時P點的縱坐標是PQ的一半．由此可求出P點的坐標．進而可求出R的坐標．
點評：本題考查一元二次方程的解法，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點、等腰三角形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．