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【題目】如圖,矩形OABC的項點A、C分別在軸的正半軸上,點B點反比例函數k≠0)的第一象限內的圖象上,OA=3,OC=5,動點P軸的上方,且滿足

1)若點P在這個反比例函數的圖象上,求點P的坐標;

2)連接POPA,求PO+PA的最小值;

3)若點Q在平面內一點,使得以A、BP、Q為頂點的四邊形是菱形,則請你直接寫出滿足條件的所有點Q的坐標.

【答案】1P53;2)最小值為;3Q,8)或(7,8)或()或(,

【解析】

1)由矩形的性質可得出點B的坐標,利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出k值,進而可得出反比例函數解析式,由可求出點P的縱坐標,再利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標;

2)作點O關于直線y=3的對稱點O′,連接AO′交直線y=3于點P,利用兩點之間線段最短可得出此時PO+PA取得最小值,由點O的坐標可求出點O′的坐標,再利用勾股定理即可求出PO+PA的最小值;
3)由線段AB的長及點P的縱坐標可得出AB只能為邊,分點Q在點P的上方及點Q在點P的下方兩種情況考慮:①當點Q在點P的上方時,由AP=AB=5可求出m的值,進而可得出點P1,P2的坐標,結合PQ=AB=5可得出點Q1,Q2的坐標;②當點Q在點P的下方時,由BP=AB=5可求出m的值,進而可得出點P3,P4的坐標,結合PQ=AB=5可得出點Q3Q4的坐標.

1)由題意,可知:點B的坐標為(35).
∵點B在反比例函數k≠0)的第一象限內的圖象上,
k=3×5=15
∴反比例函數的解析式為,



y=3時,,

解得:x=5,
∴當點P在這個反比例函數的圖象上時,點P的坐標為(5,3).
2)由(1)可知:點P在直線y=3上,作點O關于直線y=3的對稱點O′,連接AO′交直線y=3于點P,此時PO+PA取得最小值,如圖1所示.


∵點O的坐標為(00),
∴點O′的坐標為(06).
∵點A的坐標為(3,0),
AO′=

PO+PA的最小值為
3)∵ABy軸,AB=5,點P的縱坐標為3,
AB不能為對角線,只能為邊.
設點P的坐標為(m3),分兩種情況考慮,如圖2所示:


①當點Q在點P的上方時,AP=AB=5,即,
解得:m1=-1m2=7,
∴點P1的坐標為(-1,3),點P2的坐標為(7,3).
又∵PQ=5,且PQABy軸,
∴點Q1的坐標為(-1,8),點Q2的坐標為(7,8);
②當點Q在點P的下方時,BP=AB=5,即
解得:,,
同理,可得出:點Q3的坐標為(,-2),點Q4的坐標為(,-2
綜上所述:當以A、BP、Q為頂點的四邊形是菱形時,點Q的坐標為Q,8)或(7,8)或()或(,

練習冊系列答案
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其中, ;

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3)觀察函數圖象:

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