Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為

2

-1，直線l：y=-x-

2

與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸負(fù)方向平移，同時(shí)，若直線l繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，直線l也恰好與⊙B第一次相切，見圖（2）求B₁的坐標(biāo)以及直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)多少度？
（3）若直線l不動(dòng)，⊙B沿x軸負(fù)方向平移過程中，能否與⊙O與直線l同時(shí)相切？若相切，說明理由．

Answer 1

（1）直線l：y=-x-

2

．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-

2

；當(dāng)y=0，時(shí)，x=-

2

，
所以A（-

2

，0）．
∵C（0，-

2

），
∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．

（2）如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，
此時(shí)，直線l旋轉(zhuǎn)到l₁恰好與⊙B₁第一次相切于點(diǎn)P，⊙B₁與x軸相切于點(diǎn)N，連接B₁O，B₁N．
則MN=t，OB₁=

2

，B₁N=1，B₁N⊥AN．
∴ON=1，
∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P，則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N，
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=

2

，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
∴直線AC繞點(diǎn)A平均每秒旋轉(zhuǎn)90°÷3=30°．

（3）能，假設(shè)⊙B與⊙O第二次相切時(shí)⊙B的圓心為B₂，作B₂E⊥AC于E，作OH⊥AC于H．
∵△OAC為等腰直角三角形，且OA=OC=

2

，
∴根據(jù)勾股定理得到AC=2，
又∵OH⊥AC，
∴OH為斜邊AC上的中線，
∴OH=

1

2

AC=1，
∴OH=B₂E=1，
∵B₂E⊥l，OH⊥l，
∴B₂E∥OH，
故此時(shí)⊙B與圓0與直線l同時(shí)相切．