如圖,在⊙O中,AB為⊙O的直徑,AC為弦,OC=4,∠OAC=60°.
(1)求∠AOC的度數(shù);
(2)在圖(1)中,P為直徑BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且,求證:PC為⊙O的切線.
(3)如圖(2),一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā),在⊙O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周(點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合),當(dāng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng).
(1)60°; (2)證明見(jiàn)解析; (3)或
或
或
.
【解析】
試題分析:(1)由OA、OC都是⊙O的半徑知,△AOC是等腰三角形,然后根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)求得∠AOC =60°;
(2)由求出PA的長(zhǎng),從而得出∠P=∠PCA,∠AOC=∠ACO,根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可得∠PCO=900,進(jìn)而證得結(jié)論;
(3)如圖,當(dāng)S△MAO=S△CAO時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的位置有四種:①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M1,連接AM1,OM1,②過(guò)點(diǎn)M1作M1M2∥AB交⊙O于點(diǎn)M2,連接AM2,OM2,③過(guò)點(diǎn)C作CM3∥AB交⊙O于點(diǎn)M3,連接AM3,OM3,④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí),M與C重合,求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù),再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得弧AM的長(zhǎng).
試題解析:(1)在△OAC中,∵OA=OC(⊙O的半徑),∠OAC=60°,∴∠OAC=∠OCA(等邊對(duì)等角).
又∵∠OAC=60°,∴△AOC是等邊三角形. ∴∠AOC=60°.
(2)如圖,作PA邊上的高CE,
∵△AOC是等邊三角形, OC=4,∴CE=.
∵,∴
. ∴
.∴PA=AC=AO=4. ∴
∠P=∠PCA,∠AOC=∠ACO.
∴∠PCO=900.
又∵OC是⊙O的半徑,∴PC為⊙O的切線.
(3)如圖,
①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M1,連接AM1,OM1.
此時(shí)S△M1AO=S△CAO,∠AOM1=60°.∴弧AM1=.
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M1時(shí),S△MAO=S△CAO,此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為.
②過(guò)點(diǎn)M1作M1M2∥AB交⊙O于點(diǎn)M2,連接AM2,OM2,
此時(shí)S△M2AO=S△CAO.∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°.∴弧AM2=.
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M2時(shí),S△MAO=S△CAO,此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為.
③過(guò)點(diǎn)C作CM3∥AB交⊙O于點(diǎn)M3,連接AM3,OM3,
此時(shí)S△M3AO=S△CAO, ∴∠BOM3=60°.∴弧AM3=.
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M3時(shí),S△MAO=S△CAO,此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為.
點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí),M與C重合,S△MAO=S△CAO,
此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為.
考點(diǎn):1.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題;2.等腰三角形的性質(zhì);3. 等邊三角形的判定和性質(zhì);4.切線的判定;5. 弧長(zhǎng)的計(jì)算;6.分類思想的應(yīng)用.
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