Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于B（－3，0）、C（1，0）兩點，與y軸交于點A（0，2），拋物線的頂點為D．連接AB，點E是第二象限內的拋物線上的一動點，過點E作EP⊥BC于點P，交線段AB于點F．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點E作EG⊥AB于點G，Q為線段AC的中點，當△EGF周長最大時，在 軸上找一點R，使得|RE－RQ|值最大，請求出R點的坐標及|RE－RQ|的最大值；

（3）在（2）的條件下，將△PED繞E點旋轉得△ED′P′，當△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時，求點P′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（， ），R（，0），最大值為；（3）P′（， ）或（， ）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）把A、B、C的坐標代入拋物線解析式，求出a、b、c的值即可得出解析式；

（2）先證△EFG∽△BAO，得，所以當EF最大時△EFG周長最大，求出AB的解析式，設出點E、F的坐標，表示出EF的長，求出EF最大時E點坐標，根據中點坐標求法求出點Q坐標，表示出EQ的解析式，當E、Q、R在同一直線上時|RE－RQ|最大，求出此時R點坐標和EQ的長即為答案；

（3）用待定系數法求出PA的解析式為y＝，

①當∠P’PA＝90°時，根據相互垂直的兩條直線比例系數互為負倒數求出PP’的解析式為y＝，設P’（x， ），由EP’＝EP列方程求出x的值，即可得出點P’的坐標；

②當∠PAP’＝90°時，同理求出AP’的解析式，利用前面的方法即可得出點P’的坐標．

試題解析：

解：（1）∵拋物線經過點A（0，2）、B（－3，0）、C（1，0），

∴，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y＝；

（2）∵EG⊥AB，EP⊥OB，

∴∠EGF＝∠FPB＝90°，

∴∠E＋∠EFG＝90°，∠PBF＋∠BFP＝90°，

∵∠EFG＝∠BFP，

∴∠E＝∠PBF，

又∠EGF＝∠AOB，

∴△EFG∽△BAO，

∴，

∵AB是定值，

∴當EF最大時△EFG周長最大，

設AB的解析式為y＝kx＋b，

則有，

解得，

∴AB的解析式為y＝x＋2，

設E（x， ），則F（x， x＋2）．

∴EF＝()－(x＋2)＝ ＝，

當x＝時EF有最大值，

此時E（， ）．

∵Q是AC中點，A（0，2），C（1，0），

∴Q（，1），

EQ的解析式為：y＝，

當E、Q、R在同一直線上時|RE－RQ|最大，

令y＝0，則＝0，

x＝，

∴R（，0），

此時|RE－RQ|最大值＝EQ＝＝；

（3）∵EP⊥x軸，E（， ），

∴P（，0），

∵A（0，2），

∴PA的解析式為y＝，

①當∠P’PA＝90°時，

設PP’的解析式為y＝，

把P（，0）代入得b＝，

∴PP’的解析式為y＝，

設P’（x， ），

∵EP’＝EP，

∴，

解得：x1＝，x2＝（不符合題意，舍去），

＝，

∴P’（ ， ）；

②當∠PAP’＝90°時，

同理可得AP’的解析式為：y＝，

設P’（x， ），

∵EP’＝EP，

∴，

解得：x1＝，x2＝，

當x＝時， ＝，

當x＝時， ＝，

∴P’（ ， ）或（， ）．

綜上P’ （， ）或（ ， ）或（， ）．