Question

【題目】如圖，已知ED為⊙O的直徑且ED=4，點A（不與E、D重合）為⊙O上一個動點，線段AB經過點E，且EA=EB，F為⊙O上一點，∠FEB=90°，BF的延長線交AD的延長線交于點C．
（1）求證：△EFB≌△ADE；
（2）當點A在⊙O上移動時，直接回答四邊形FCDE的最大面積為多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接FA，

∵∠FEB=90°，

∴EF⊥AB，

∵BE=AE，

∴BF=AF，

∵∠FEA=∠FEB=90°，

∴AF是⊙O的直徑，

∴AF=DE，

∴BF=ED，

在Rt△EFB與Rt△ADE中， ，

∴Rt△EFB≌Rt△ADE；

（2）∵Rt△EFB≌Rt△ADE，

∴∠B=∠AED，

∴DE∥BC，

∵ED為⊙O的直徑，

∴AC⊥AB，

∵EF⊥AB，

∴EF∥CD，

∴四邊形形FCDE，

∴E到BC的距離最大時，四邊形FCDE的面積最大，

即點A到DE的距離最大，

∴當A為 的中點時，

點A到DE的距離最大是2，

∴四邊形FCDE的最大面積=4×2=8．

【解析】（1）連接FA，根據垂直的定義得到EF⊥AB，得到BF=AF，推出BF=ED，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；（2）根據全等三角形的性質得到∠B=∠AED，得到DE∥BC，推出四邊形形FCDE，得到E到BC的距離最大時，四邊形FCDE的面積最大，即點A到DE的距離最大，推出當A為 的中點時，于是得到結論．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值和圓周角定理的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．