Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在第二象限的拋物線上，連接，線段交線段于點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若的面積為，的面積為當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，點(diǎn)在軸上，當(dāng)時(shí)，

①求滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)是線段外一點(diǎn)，，連接，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，直接寫出線段的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①或；②

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入解析式解答即可；

（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3），過點(diǎn)C作CG⊥OP于G，根據(jù)， ，得到，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，過點(diǎn)E作EN⊥PF于N，得到，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，），求出直線BC的解析式為y=x+3，得到E（，+3），根據(jù)2PF=5PN得到5(--3)=2()，求出x值即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）①先求出拋物線的對稱軸是直線x=-1，得到N（-2,3），求出直線BN的解析式為y=3x+9，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)H在OB之間時(shí)，由，得到BN∥CH，得到直線CH的解析式為y=3x+3，即可求出點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1,0）；當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，CH交BN于M，作直線OM，由得到BM=MC，故OM是BC的垂直平分線，求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，），再求出直線CM的解析式為y=x+3，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-9,0）；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方且MH⊥x軸時(shí)，MH最小，作QG⊥x軸，過點(diǎn)M作MF⊥QG于F，則四邊形MHGF是矩形，證明△BQG≌△QMF，得到FM=GQ，BG=FQ，利用勾股定理求出GQ=GH=，得到MH=FG=BG-FG=；如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方，且MH⊥x軸時(shí)，MH最大，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸，QF⊥MH于F，則四邊形HGQF是矩形，同理：△BGQ≌△MFQ，得到QG=FQ=HG，BG=MF，利用勾股定理求出GQ=GH=，得到MH=BG+FH= ，即可得到MH的取值范圍.

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入中，得

，解得，

∴拋物線的表達(dá)式為；

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3），

過點(diǎn)C作CG⊥OP于G，

∵， ，，

∴，

∴，

過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，過點(diǎn)E作EN⊥PF于N，

∴EN∥OF，

∴,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，），

∴OF=-a，EN=-，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，

∵B（3,0），C（0,3），

∴直線BC的解析式為y=x+3，

當(dāng)x=時(shí)，y=+3，

∴E（，+3），

∵2PF=5PN，

∴5(--3)=2(),

解得，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,4）或（-2,3）；

（3）①∵，

∴拋物線的對稱軸是直線x=-1，

∵點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，C（0,3），

∴N（-2,3），

設(shè)直線BN的解析式為y=kx+b，

∴，解得，

∴直線BN的解析式為y=3x+9，

當(dāng)點(diǎn)H在OB之間時(shí)，如圖，

∵，

∴BN∥CH，

設(shè)直線CH的解析式為y=3x+m，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得m=3,

∴直線CH的解析式為y=3x+3，

當(dāng)y=0時(shí)，得x=-1，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1,0）；

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖，CH交BN于M，作直線OM，

∵，

∴BM=MC，

∵OB=OC，

∴OM是BC的垂直平分線，

∴直線OM的解析式為y=-x，

解方程組，得，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，），

設(shè)直線CM的解析式為y=cx+n，

∴，∴，

∴直線CM的解析式為y=x+3，

當(dāng)y=0時(shí)x=-9，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-9,0），

綜上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1,0）或（-9，0）；

②如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方且MH⊥x軸時(shí)，MH最小，作QG⊥x軸，過點(diǎn)M作MF⊥QG于F，則四邊形MHGF是矩形，

∴FM=GH，FG=MH，

∵∠BQM=∠F=90°，

∴∠BQG+∠FQM=∠FMQ+∠FQM=90°，

∴∠BQG=∠FMQ，

∵∠BGQ=∠F，BQ=MQ，

∴△BQG≌△QMF，

∴FM=GQ，BG=FQ，

∴GQ=FM=GH，

∵QH=1，

∴GQ=GH=，

∴ MH=FG=BG-FG=；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方，且MH⊥x軸時(shí)，MH最大，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸，QF⊥MH于F，則四邊形HGQF是矩形，

∴FQ=HG，FH=QG，

同理：△BGQ≌△MFQ，

∴QG=FQ=HG，BG=MF，

∵QH=1，

∴GQ=GH=，

∴MH=BG+FH= ，

∴MH的取值范圍是.