Question

已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)，過F點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．

(1)求證：△AOE與△BOF的面積相等．

(2)記S＝S_△OEF－S_△ECF，求當(dāng)k為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？

(3)請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，做一日和尚撞一天鐘得將CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)證明：設(shè)E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)，△AOE和△FOB的面積為S₁、S₂

　　由題意得，

　　∴　

　　∴S₁＝S₂，即△AOE和△FOB的面積相等

　　(2)由題意知：E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(，3)、F(4，)

　　S_△ECF＝EC·CF＝(4－)(3－)

　　S_△EDF＝S_矩形AOBC－S_△AOE－S_△ECF＝12－k－k－S_△ECF

　　S＝S_△OEF－S_△ECF＝12－k－2　S_△ECF＝12－k－2×(4－)(3－)

　　S＝k²＋k

　　當(dāng)k＝

　　(3)解：設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊上的M點(diǎn)，過點(diǎn)E作EN⊥OB，垂足為N

　　由題意得：EN＝AO＝3，EM＝EC＝4－，MF＝CF＝3－

　　∵FMN＋FMB＝FMB＋MFB＝90，∴EMN＝MFB

　　又∵ENM＝MBF＝90

　　∴△ENM△MBF

　　∴　∴

　　∴MB＝

　　∵M(jìn)B²＋BF²＝MF²　∴()²＋()²＝(3－)²

　　解得k＝

　　∴BF＝＝

　　存在符合條件的點(diǎn)F，它的坐標(biāo)為(4，)