Question

已知二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；
（2）設(shè)D為線段OC上的一點(diǎn)，滿足∠DPC=∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出b，c的值后可求出該函數(shù)的解析式；
（2）證明△DPC∽△BAC，利用線段比求出各相關(guān)線段的值后易求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）過M作MH⊥AC，MG⊥PC，推出△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的內(nèi)切圓圓心，根據(jù)直線與圓的關(guān)系進(jìn)行解答．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象過點(diǎn)A（-3，6），B（-1，0），
得

9 2 -3b+c=6 1 2 -b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 3 2

．
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：
y=

1

2

x²-x-

3

2

．（4分）
由解析式可求P（1，-2），C（3，0），（5分）
畫出二次函數(shù)的圖象；（6分）

（2）解法一：
易證：∠ACB=∠PCD=45°，
又已知：∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，（8分）
∴

DC

BC

=

PC

AC

，
易求AC=6

2

，PC=2

2

，BC=4，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，
∴D（

5

3

，0）．（10分）
解法二：過A作AE⊥x軸，垂足為E，
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于F，
亦可證△AEB∽△PFD，（8分）
∴

PE

PF

=

EB

FD

，
易求：AE=6，EB=2，PF=2，
∴FD=

2

3

，
∴OD=

2

3

+1=

5

3

，
∴D（

5

3

，0）；（10分）

（3）存在．
①過M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分別為H、G，設(shè)AC交y軸于S，CP的延長線交y軸于T，
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的內(nèi)切圓圓心，
∴MG=MH=OM，（11分）
又∵M(jìn)C=

2

OM且OM+MC=OC，
∴

2

OM+OM=3，
得OM=3

2

-3，
∴M（3

2

-3，0）（12分）
②在x軸的負(fù)半軸上，存在一點(diǎn)M′，
同理OM′+OC=M′C，OM′+OC=

2

OM′
得OM′=3

2

+3
∴M′(-3

2

-3，0)（14分）
即在x軸上存在滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的是二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及直線與圓的關(guān)系，難度較大．