Question

△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B．

（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．

（2）如圖（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的時(shí)，求線段EF的長．

Answer 1

1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．  ----------答全2分

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，

證明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°

∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，

由AB=AC，得∠B=∠C，

∴△BDF∽△CED，                    ------------2分

∴．

∵BD=CD，

∴．

又∵∠C=∠EDF，

∴△BDF∽△CED∽△DEF．           --------------2分

（3）連接AD，過D點(diǎn)作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．

∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=BC=6．

在Rt△ABD中，AD²=AB²﹣BD²，∴AD=8

∴S_△ABC=BC•AD=×12×8=48．

S_△DEF=S_△ABC=×48=12．

又∵AD•BD=AB．DH，∴DH===，

∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD  

∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH=DG=．

∵S_△DEF=×EF×DG=12，      ∴EF==5．      ----------- 4分