Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，3)，B(6，3)，連接AB．若對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)P，線段AB上都存在點(diǎn)Q，使得PQ≤1，則稱點(diǎn)P是線段AB的鄰近點(diǎn)．

（1）判斷點(diǎn)D(，)是否是線段AB的鄰近點(diǎn)．________（填是或否）；

（2）若點(diǎn)H(m，n)在一次函數(shù)y＝x－1的圖象上，且是線段AB的鄰近點(diǎn)，求m的取值范圍；

（3）若一次函數(shù)y＝x＋b的圖象上至少存在一個(gè)鄰近點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）3≤m≤5；（3）﹣﹣3≤b≤+1

【解析】

（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)得出AB∥x軸，根據(jù)點(diǎn)P到直線AB的距離≤1，求出當(dāng)橫坐標(biāo)2≤x≤6縱坐標(biāo)2≤y≤4范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)是線段AB的“臨近點(diǎn)”，看點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否在y的范圍內(nèi)即可以及在A點(diǎn)的左邊到A點(diǎn)的距離≤1，或在B點(diǎn)的右邊到B點(diǎn)的距離≤1，點(diǎn)是線段AB的“臨近點(diǎn)”；

（2）先求得直線y＝x﹣1與線段AB交于（4，3），然后分兩種情況討論：①當(dāng)m≥4時(shí)，根據(jù)線段AB的“臨近點(diǎn)”的縱坐標(biāo)的范圍是2≤n≤4，把n＝2和n＝4分別代入n＝m﹣1，求出相應(yīng)的m值，即可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的范圍；

（3）如圖，分別求得N1、N2的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法分別求得橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為3+或橫坐標(biāo)為6，縱坐標(biāo)為3﹣時(shí)，直線y＝x+b的b值，依此可求b的取值范圍．

（1）點(diǎn)D是線段AB的“鄰近點(diǎn)”；

∵AD＝＝1，

∴D（，）是線段AB的“臨近點(diǎn)”．

（2）如圖1，∵點(diǎn)H（m，n）是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，點(diǎn)H（m，n）在直線y＝x﹣1上，

∴n＝m﹣1；

直線y＝x﹣1與線段AB交于（4，3）

①當(dāng)m≥4時(shí)，有n＝m﹣1≥3，

又AB∥x軸，

∴此時(shí)點(diǎn)H（m，n）到線段AB的距離是n﹣3，

∴0≤n﹣3≤1，

∴4≤m≤5，

②當(dāng)m≤4時(shí)，有n＝m﹣1，

∴n≤3，

又AB∥x軸，

∴此時(shí)點(diǎn)H（m，n）到線段AB的距離是3﹣n，

∴0≤3﹣n≤1，

∴3≤m≤4，

綜上所述，3≤m≤5；

（3）①如圖2，

有直線y＝x+b可知∠AN1H＝45°，

∵AH＝1，

∴AN1＝，

∴N1（2，3+），

把橫坐標(biāo)2，縱坐標(biāo)3+代入直線y＝x+b，可得3+＝2+b，解得b＝+1；

②如圖3，

同理證得N2（6，3﹣），

把橫坐標(biāo)6，縱坐標(biāo)3﹣代入直線y＝x+b，可得3﹣＝6+b，解得b＝﹣﹣3；

故b的取值范圍為﹣﹣3≤b≤+1．