Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE為BC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，在直線CF上截取CD＝AE.

(1)求證：BD⊥BC；

(2)若AC＝12 cm，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) BD＝6 cm.

【解析】

（1）由∠ACB＝90°，CF⊥AE于點(diǎn)F易證∠EAC=∠BCD，這樣結(jié)合AC=BC，AE=CD即可證得△AEC≌△CDB，從而可得∠DBC=∠ACE=90°，由此即可得到BD⊥BC；

（2）由AC=BC，AC=12cm可得BC=12cm，結(jié)合AE是△ABC的中線可得CE=6cm，這樣由（1）中所得△AEC≌△CDB即可得到BD=CE=6cm.

(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠EAC＋∠AEC＝90°，

∵CF⊥AE，

∴∠BCD＋∠AEC＝90°，∴∠EAC＝∠BCD.

在△AEC和△CDB中，，

∴△AEC≌△CDB(SAS)，

∴∠DBC＝∠ACE＝90°，

∴BD⊥BC；

(2)∵AC=BC，AC=12cm，

∴BC=12cm，

∵AE是BC邊上的中線，

∴CE＝BC＝6cm，

∵△AEC≌△CDB，

∴BD＝CE=6 cm.