Question

如圖，OB是以（O，a）為圓心，a為半徑的⊙O₁的弦，過B點作⊙O₁的切線，P為劣弧上的任一點，且過P作OB、AB、OA的垂線，垂足分別是D、E、F．
（1）求證：PD²=PE•PF；
（2）當(dāng)∠BOP=30°，P點為OB的中點時，求D、E、F、P四個點的坐標(biāo)及S_△DEF．

Answer 1

（1）證明：連接PB，OP，
∵PE⊥AB，PD⊥OB，
∴∠BEP=∠PDO=90°，
∵AB切⊙O₁于B，∠ABP=∠BOP，
∴△PBE∽△POD，
∴=，
同理，△OPF∽△BPD
∴=，
∴=，
∴PD²=PE•PF；

（2）解：連接O₁B，O₁P，
∵AB切⊙O₁于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=30°，
∴∠O₁BP=90°-30°=60°，
∵O₁B=O₁P，
∴△O₁BP為等邊三角形，
∴O₁B=BP，
∵P為弧BO的中點，
∴BP=OP，
即△O₁PO為等邊三角形，
∴O₁P=OP=a，
∴∠O₁OP=60°，
又∵P為弧BO的中點，
∴O₁P⊥OB，
在△O₁DO中，∵∠O₁OP=60°O₁O=a，
∴O₁D=a，OD=a，
過D作DM⊥OO₁于M，∴DM=OD=a，
OM=DM=a，
∴D（-a，a），
∵∠O₁OF=90°，∠O₁OP=60°
∴∠POF=30°，
∵PE⊥OA，
∴PF=OP=a，OF=a，
∴P（-a，），F(xiàn)（-a，0），
∵AB切⊙O₁于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=∠BOP=30°，
∵PE⊥AB，PB=a，
∴∠EPB=60°
∴PE=a，BE=a，
∵P為弧BO的中點，
∴BP=PO，
∴∠PBO=∠BOP=30°，
∴∠BPO=120°，
∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，
即OPE三點共線，
∵OE=a+a=a，
過E作EM⊥x軸于M，∵AO切⊙O₁于O，
∴∠EOA=30°，
∴EM=OE=a，OM=a，
∴E（-a，a），
∵E（-a，a），D（-a，a），
∴DE=-a-（-a）=a，
DE邊上的高為：a，
∴S_△DEF=×a×a=a²．
故答案為：D（-a，a），E（-a，a），F(xiàn)（-a，0），P（-a，）；S_△DEF=a²．
分析：（1）連接PB，OP，利用AB切⊙O₁于B求證△PBE∽△POD，得出=，同理，△OPF∽△BPD，得出=，然后利用等量代換即可．
（2）連接O₁B，O₁P，得出△O₁BP和△O₁PO為等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解得D、E、F、P四個點的坐標(biāo)．
再利用三角形的面積公式可直接求出三角形DEF的面積．
點評：本題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，切割線定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題綜合性強，難度較大，屬于難題．