Question

如圖，已知直線y=

1

2

x+

7

2

與x軸、y軸分別相交于B、A兩點，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B兩點，且對稱軸為直線x=-3．
（1）求A、B兩點的坐標，并求拋物線的解析式；
（2）若點P以1個單位/秒的速度從點B沿x軸向點O運動．過點P作y軸的平行線交直線AB于點M，交拋物線于點N．設點P運動的時間為t，MN的長度為s，求s與t之間的函數關系式，并求出當t為何值時，s取得最大值？
（3）設拋物線的對稱軸CD與直線AB相交于點D，頂點為C．問：在（2）條件不變情況下，是否存在一個t值，使四邊形CDMN是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出AB兩點的坐標，再用待定系數法求得二次函數的解析式；
（2）根據題意可求得點P的橫坐標，再代入拋物線即可得出縱坐標，再由MN的長度即可表示出s與t之間的函數關系式；
（3）先假設存在，把x=-3代入，得出C、D的縱坐標，再由|MN|=6，即-

1

2

t2+

7

2

t=6，求出t，使四邊形CDMN是平行四邊形．

解答：解：（1）對于y=

1

2

x+

7

2

，
當x=0時，y=

7

2

；令y=0，x=-7，
所以A（0，

7

2

），B（-7，0），（2分）（各1分）
依題意得：

c= 7 2 49a-7b+ 7 2 =0 - b 2a =-3

，
解得：a=-

1

2

，b=-3，c=

7

2

，
拋物線的解析式是y=-

1

2

x2-3x+

7

2

；

（2）依題意得：點P的橫坐標是（t-7），
把x=（t-7）代入，得M、N的縱坐標：yM=

1

2

(t-7)+

7

2

=

1

2

tyN=-

1

2

(t-7)2-3(t-7)+

7

2

=-

1

2

t2+4t，
∴s=y_N-y_M=-

1

2

t2+

7

2

t，
當t=-

7 2

2×(- 1 2 )

，
即t=

7

2

時，s取得最大值．

（3）存在．理由是：
把x=-3代入，得C、D的縱坐標：y_C=8，y_D=2，
∴|CD|=6，
令|MN|=6，有-

1

2

t2+

7

2

t=6，t₁=3，t₂=4，
當t₂=4時，MN與CD重合，舍去；
當t=3時，MN∥CD且MN=CD，故四邊形CDMN是平行四邊形．

點評：此題是一道二次函數的綜合題，考查了用待定系數法求二次函數的解析式，最值問題以及動點問題，是中考壓軸題，難度較大．