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如圖,已知直線y=
1
2
x+
7
2
與x軸、y軸分別相交于B、A兩點,拋物線y=a精英家教網x2+bx+c經過A、B兩點,且對稱軸為直線x=-3.
(1)求A、B兩點的坐標,并求拋物線的解析式;
(2)若點P以1個單位/秒的速度從點B沿x軸向點O運動.過點P作y軸的平行線交直線AB于點M,交拋物線于點N.設點P運動的時間為t,MN的長度為s,求s與t之間的函數關系式,并求出當t為何值時,s取得最大值?
(3)設拋物線的對稱軸CD與直線AB相交于點D,頂點為C.問:在(2)條件不變情況下,是否存在一個t值,使四邊形CDMN是平行四邊形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)先求出AB兩點的坐標,再用待定系數法求得二次函數的解析式;
(2)根據題意可求得點P的橫坐標,再代入拋物線即可得出縱坐標,再由MN的長度即可表示出s與t之間的函數關系式;
(3)先假設存在,把x=-3代入,得出C、D的縱坐標,再由|MN|=6,即-
1
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t2+
7
2
t
=6,求出t,使四邊形CDMN是平行四邊形.
解答:精英家教網解:(1)對于y=
1
2
x+
7
2

當x=0時,y=
7
2
;令y=0,x=-7,
所以A(0,
7
2
),B(-7,0),(2分)(各1分)
依題意得:
c=
7
2
49a-7b+
7
2
=0
-
b
2a
=-3
,
解得:a=-
1
2
,b=-3,c=
7
2

拋物線的解析式是y=-
1
2
x2-3x+
7
2
;

(2)依題意得:點P的橫坐標是(t-7),
把x=(t-7)代入,得M、N的縱坐標:yM=
1
2
(t-7)+
7
2
=
1
2
t
yN=-
1
2
(t-7)2-3(t-7)+
7
2
=-
1
2
t2+4t
,
∴s=yN-yM=-
1
2
t2+
7
2
t

當t=-
7
2
2×(-
1
2
)
,
即t=
7
2
時,s取得最大值.

(3)存在.理由是:
把x=-3代入,得C、D的縱坐標:yC=8,yD=2,
∴|CD|=6,
令|MN|=6,有-
1
2
t2+
7
2
t
=6,t1=3,t2=4,
當t2=4時,MN與CD重合,舍去;
當t=3時,MN∥CD且MN=CD,故四邊形CDMN是平行四邊形.
點評:此題是一道二次函數的綜合題,考查了用待定系數法求二次函數的解析式,最值問題以及動點問題,是中考壓軸題,難度較大.
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相等
,判斷的依據是
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2
3
x+
8
3
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35°
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