Question

如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)（﹣1，0）、（3，0），與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線與拋物線及線段分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在軸正半軸上，=2，連接、．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）過(guò)點(diǎn)的直線將（2）中的平行四邊形分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說(shuō)明平分平行四邊形面積的理由）

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的解析式為：；(2) 點(diǎn)坐標(biāo)為或；(3) ①當(dāng)時(shí)，所求直線的解析式為：；②當(dāng)時(shí)，所求直線的解析式為：.

【解析】

試題分析：

（1）將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線函數(shù)中，可求出未知量，.則可求出該拋物線解析式；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可知，，用含未知量的代數(shù)式表示的長(zhǎng)度。則可得點(diǎn)坐標(biāo) ；（3）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)（或?qū)�角線的中點(diǎn)），過(guò)對(duì)稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過(guò)點(diǎn)與對(duì)稱中心的直線平分的面積．求得此直線，首先要求得對(duì)稱中心的坐標(biāo).則兩點(diǎn)坐標(biāo)可確定該直線.

試題解析：

（1）點(diǎn)、在拋物線上，

∴，

解得，，拋物線的解析式為：．

（2）在拋物線解析式中，令，得，．

設(shè)直線BC的解析式為，將，坐標(biāo)代入得：

，解得，，∴．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，

∴

四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，即，

解得或，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為或．

（3）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)（或?qū)�角線的中點(diǎn)），過(guò)對(duì)稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過(guò)點(diǎn)與對(duì)稱中心的直線平分的面積．

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，又

設(shè)對(duì)角線的中點(diǎn)為，則．

設(shè)直線的解析式為，將，坐標(biāo)代入得：

，

解得， ，∴所求直線的解析式為：；

②當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)坐標(biāo)為，又，

設(shè)對(duì)角線的中點(diǎn)為，則．

設(shè)直線的解析式為，將，坐標(biāo)代入得：

，解得，，所求直線的解析式為:．

綜上所述，所求直線的解析式為：或．

【考點(diǎn)】1.一次函數(shù)解析式的解法；2.二次函數(shù)解析式的解法.