在等腰△ABC中,已知AB=AC=5cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿AB、BC方向勻速移動(dòng),它們的速度都是1 cm/秒.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ⊥AB?
(2)設(shè)四邊形APQC的面積為ycm2,寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及定義域;
(3)分別以P、Q為圓心,PA、BQ長(zhǎng)為半徑畫圓,若⊙P與⊙Q相切,求t的值;
(4)在P、Q運(yùn)動(dòng)中,△BPQ與△ABC能否相似?若能,請(qǐng)求出AP的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說明理由.

解:(1)過A作AH⊥BC,垂足為H,
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=BC=3.
又∵PQ⊥AB,
∴cos∠B=

∴t=

(2)過P作PM⊥BC,垂足為M,
∵PM⊥BCAH⊥BC,
∴PM∥AH.


∴PM=
∴S△PBQ=

∴定義域:0<t<5.

(3)∵PA=BQ=t,
∴兩圓只能外切.
過Q作QN⊥AB,垂足為N,
∵sin∠B==,
在Rt△BNQ中,
∴QN=,BN=,PN=
又∵∠PNQ=90°,

∴t=-10+

(4)能,有二種情況:
①∵△BPQ∽△BAC,


∴t=
②∵△BPQ∽△BCA,


∴t=
∴當(dāng)t=或t=秒時(shí),兩個(gè)三角形相似.
分析:(1)過A作AH⊥BC,垂足為H,根據(jù)三角函數(shù)cos∠B得出等量關(guān)系,求出t的值;
(2)等量關(guān)系S四邊形APQC=S△ABC-S△BPQ得出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及定義域;
(3)以P、Q為圓心,PA、BQ長(zhǎng)為半徑畫圓,若⊙P與⊙Q相切,兩圓只能外切,根據(jù)圓與圓的外切位置關(guān)系,求t的值;
(4)△BPQ與△ABC相似,∠B公共,∠A=∠BPQ,或∠A=∠BQP,得出AP的長(zhǎng).
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,相似三角形的判定和性質(zhì),是一個(gè)探究性性的題目,一定要分析各種情況,不要落漏.
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在等腰△ABC中,已知AB=AC=5cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿AB、BC方向勻速移動(dòng),它們的速度都是1 cm/秒.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ⊥AB?
(2)設(shè)四邊形APQC的面積為ycm2,寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及定義域;
(3)分別以P、Q為圓心,PA、BQ長(zhǎng)為半徑畫圓,若⊙P與⊙Q相切,求t的值;
(4)在P、Q運(yùn)動(dòng)中,△BPQ與△ABC能否相似?若能,請(qǐng)求出AP的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說明理由.
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在等腰△ABC中,已知AB=AC=3,cos∠B=
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,D為AB上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AB交BC邊于點(diǎn)E,過點(diǎn)精英家教網(wǎng)E作EF⊥BC交AC邊于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)BD長(zhǎng)為何值時(shí),以點(diǎn)F為圓心,線段FA為半徑的圓與BC邊相切;
(2)過點(diǎn)F作FP⊥AC,與線段DE交于點(diǎn)G,設(shè)BD長(zhǎng)為x,△EFG的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域.

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(1)當(dāng)BD長(zhǎng)為何值時(shí),以點(diǎn)F為圓心,線段FA為半徑的圓與BC邊相切;
(2)過點(diǎn)F作FP⊥AC,與線段DE交于點(diǎn)G,設(shè)BD長(zhǎng)為x,△EFG的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域.

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