Question

如圖，點A在⊙O外，射線AO與⊙O交于F、G兩點，點H在⊙O上，弧FH=弧GH，點D是弧FH上一個動點（不運動至F），BD是⊙O的直徑，連接AB，交⊙O于點C，連接CD，交AO于點E，且OA=，OF=1，設AC=x，AB=y．
（1）求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若DE=2CE，求證：AD是⊙O的切線；
（3）當DE，DC的長是方程x²-ax+2=0的兩根時，求sin∠DAB的值．

Answer 1

（1）解：∵OF=OG=1，
∴AG=OA+OG=+1 AF=OA-OF=-1，
∵AG•AF=AB•AC，（+1）•（-1）=y•x，
∴y關于x的函數關系式為：y=；
當D與H重合時，△DCB為等腰直角三角形，C正好與F重合，
x取最小值：x=AF=1；
當D與F重合時，AB正好為圓O的切線，x取最大值：x=AD，
由切割線定理可得：AD²=（+1）•（-1）=4，則AD=2，
∴x取最大值：x=AD=2；
∵點D不運動至F，
∴自變量x的取值范圍為-1≤x＜．

（2）證明：延長DC至點M，使得EC=CM，連接BM．
∵DE=2CE=CE+CM=EM，
即DE=EM．
∵OD=OB，
∵OE∥BM，
∴AG∥BM，
∴∠OAB=∠ABM．
∵∠ACE=∠BCM且CE=CM，
∴△ACE≌△BCM，
∴AC=BC．
∵∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD．
∵AC=BC，DC=DC，
∴△ACD≌△BCD，
∴AD=BD．
∵OF=1，
∴BD=2OF=2，OD=OF=1．
∴AD=2．
∵OA=，
∵AD=2，OD=1，
∴OA²=OD²+AD²，
∴△AOD是直角三角形．
∴∠ADO=90°．
∴AD是圓O的切線．

（3）解：∵AD=2，△DCB為等腰直角三角形，OD=1，
∴CD=，
∴sin∠DAB==．
分析：（1）由割線定理可得：AG•AF=AB•AC，整理即可得到y(tǒng)關于x的函數關系式，根據D的運動情況即可確定自變量x的取值范圍．
（2）延長DC至點M，使得EC=CM，連接BM，然后根據中位線定理確定△ACE≌△BCM，再根據圓周角的特點得出△ACD≌△BCD，最后利用勾股定理得出，△AOD是直角三角形，進而根據∠ADO=90°推出AD是圓O的切線．
（3）根據sin∠DAB的值等于，再求出CD，即可得出答案．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．