Question

【題目】在中，射線平分交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).

（1）如圖1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平分.

①若，，則_____；若，則_____；

②試探究與之間的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的角平分線所在直線與射線交于點(diǎn).試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）①115°，110°；②，證明見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①根據(jù)角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的內(nèi)角和定理求得∠AFD的度數(shù)即可；已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；再由三角形的內(nèi)角和定理可求得∠AFD=110°；②∠AFD=90°+∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠AFD=90°+∠B；（2）∠AFD=90°-∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB；由DE//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=∠C，所以∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.

（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，

∴∠CAG=∠BAC=50°；

∵，∠C=30°，

∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；

∵DF平分∠EDB，

∴∠FDM=∠EDG=15°；

∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；

∵∠B=40°，

∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；

∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，

∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，

∵DE//AC，

∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；

∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；

∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-70°=110°；

故答案為：115°，110°；

②∠AFD=90°+∠B，理由如下：

∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，

∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，

∵DE//AC，

∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；

∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；

∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-（90°-∠B）=90°+∠B；

（2）∠AFD=90°-∠B，理由如下：

如圖，射線ED交AG于點(diǎn)M，

∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，

∴∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，

∴∠FDM=∠NDE=∠EDB，

∵DE//AC，

∴∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；

∴∠FDM=∠NDE=∠C，

∴∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；

∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.