Question

如圖所示．在△ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延長線于D，且交AM延長線于F．求證：EF∥AB．

Answer 1

證明：過B作BG∥AC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H．
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE=∠CAE．
∵BG∥AC，
∴∠CAE=∠G，
∴∠BAE=∠G，
∴BA=BG．又BD⊥AG，
∴△ABG是等腰三角形，∠ABF=∠HBF，
∴F到AB與BH的距離相等，
∴S_△ABF：S_△HBF=AB：BH，
∵S_△ABF：S_△HBF=AF：FH，
∴AB：BH=AF：FH．
又M是BC邊的中點，且BH∥AC，易知ABHC是平行四邊形，從而BH=AC，
∴AB：AC=AF：FH．
∵AE是△ABC中∠BAC的平分線，
∴AB：AC=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即
（AM+MF）：（AM-MF）=（BM+ME）：（BM-ME）
（這是因為ABHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC）．
由合分比定理，上式變?yōu)锳M：MB=FM：ME．
在△MEF與△MAB中，∠EMF=∠AMB，
∴△MEF∽△MAB
∴∠ABM=∠FEM，所以EF∥AB．
分析：利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構造三角形，設法證明△MEF∽△MAB，從而EF∥AB
點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的理解和掌握，證明此題的關鍵是過B引BG∥AC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H．和利用合分比定理．