Question

如圖，⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，點D是劣弧的中點，連

結(jié)AD并延長，與過C點的切線交于P，OD與BC相交于點E．（1）求證OE＝AC；

*（2）求證：＝；（3）當AC＝6，AB＝10時，求切線PC的長．

Answer 1

（1）【略證】∵  AB為直徑，∴ ∠ACB＝90°，

即  AC⊥BC．∵  D為的中點，由垂徑定理，得

  OD⊥BC．∴  OD∥AC．又∵  點O為AB的中點，∴  點E為BC的中點．∴  OE＝AC．

*（2）【略證】連結(jié)CD．∵  ∠PCD＝∠CAP，∠P是公共角，∴  △PCD∽△PAC．∴  ＝．

∴  ＝．又  PC是⊙O的切線，∴  PC²＝PD?DA．∴  ＝，

∴  ＝．∵  BD＝CD，∴  ＝．

（3）【略解】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴  BC＝＝8．∴  BE＝4．

∵  OE＝＝3，∴  ED＝2．則在Rt△BED中，BD＝＝2，

在Rt△ADB中，AD＝＝4．∵  ＝，∴  ＝．

解此方程，得  PD＝5，AP＝9．又  PC²＝DP?AP，∴  PC＝＝15．