Question

【題目】已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，直線l過點(diǎn)M（3，0）且平行于y軸．

（1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣a，0），其中a＞0，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是P1，點(diǎn)P1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)是P2，求P1P2的長．（用含a的代數(shù)式表示）

（3）通過計(jì)算加以判斷，PP2的長會(huì)不會(huì)隨點(diǎn)P位置的變化而變化．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析，A1（0，4）、B1（2，2）C1（1，1）；（2）當(dāng)0＜a≤3時(shí)，P1P2=6﹣2a；當(dāng)a＞3時(shí)，P1P2=2a﹣6；（3）PP2的長不會(huì)隨點(diǎn)P位置的變化而變化．

【解析】

（1）如圖1，分別作出點(diǎn)B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再順次連接可得；（2）P與P1關(guān)于y軸對稱，利用關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的特點(diǎn)：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，求出P1的坐標(biāo)，再由直線l的方程為直線x=3，利用對稱的性質(zhì)求出P2的坐標(biāo)，即可PP2的長（本題分0＜a≤3和a＞3兩種情況求解）；（3）根據(jù)以上兩種情況，分別利用PP2=PP1+P1P2、PP2=PP1﹣P1P2計(jì)算可得結(jié)論．

（1）如圖，△A1B1C1即為所求，

A1（0，4）、B1（2，2）C1（1，1）；

（2）①如圖2，當(dāng)0＜a≤3時(shí)，

∵P與P1關(guān)于y軸對稱，P（﹣a，0），

∴P1（a，0），

又∵P1與P2關(guān)于l：直線x=3對稱，

設(shè)P2（x，0），可得： =3，即x=6﹣a，

∴P2（6﹣a，0），

則PP2=6﹣a+a=6．

∴P1P2=6﹣2a；

②如圖3，當(dāng)a＞3時(shí)，

∵P與P1關(guān)于y軸對稱，P（﹣a，0），

∴P1（a，0），

又∵P1與P2關(guān)于l：直線x=3對稱，

設(shè)P2（x，0），可得： =3，即x=6+a，

∴P2（6+a，0），

則PP2=6+a﹣a=6．

∴P1P2=2a﹣6.

綜上所述，當(dāng)0＜a≤3時(shí)，P1P2=6﹣2a；當(dāng)a＞3時(shí)，P1P2=2a﹣6；

（3）當(dāng)0＜a≤3時(shí)，PP2=PP1+P1P2=2a+6﹣2a=6；

當(dāng)a＞3時(shí)，PP2=PP1﹣P1P2=2a﹣（2a﹣6）=6；

∴PP2的長不會(huì)隨點(diǎn)P位置的變化而變化．