(2012•許昌一模)如圖,已知拋物線,y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(2,0).B(3.-3)及原點(diǎn)O.頂點(diǎn)為C.
(l)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)D在拋物線上,點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,且以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)P是拋物線上第三象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,清說(shuō)明理由.
分析:(1)通過(guò)拋物線過(guò)原點(diǎn)O,可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx,再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式;
(2)①當(dāng)OA為邊時(shí),根據(jù)E在x=1上,能求出D的橫坐標(biāo),根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出D的坐標(biāo)即可;
②OA為對(duì)角線時(shí),根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分,求出D和C重合,進(jìn)一步求出E的坐標(biāo);
(3)設(shè)P(x,y),由題意知x<0,y<0且y=-x2+2x,可得P(x,-x2+2x),根據(jù)勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),得出比例式,代入求出即可.
解答:解:(1)∵拋物線過(guò)原點(diǎn)O,
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx,
將A(2,0),B(3,-3)代入,得
4a+2b=0
9a+3b=-3
,
解得
a=-1
b=2
,
故拋物線的解析式為:y=-x2+2x,
則y=-x2+2x=-(x2-2x)=-(x-1) 2+1,
故C點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,1);

(2)如圖1,①當(dāng)AO為邊時(shí),
∵以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
∴DE∥AO,且DE=AO=2.
∵點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸x=1上,
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1或3.
即符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè),分別記為D1,D2
而當(dāng)x=-1時(shí),y=-3當(dāng)x=3時(shí),y=-3
則D1(-1,-3),D2(3,-3),
②當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí),則DE與AO互相平分.
又點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上,且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,
由對(duì)稱(chēng)性知,符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè),即頂點(diǎn)C(1,1),
綜上所述,符合條件的點(diǎn)D共有三個(gè),分別為(-1,-3),(3,-3),(1,1);

(3)存在,
如圖2,∵B(3,-3),C(1,1)根據(jù)勾股定理得:
BO2=18,CO2=2,BC2=20.
∴BO2+CO2=BC2
∴△BOC是以∠BOC為直角的直角三角形.
假設(shè)存在點(diǎn)P,使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與Rt△BOC相似.
設(shè)P(x,y),由題意知x<0,y<0且y=-x2+2x,
①若△AMP∽△BOC,
AM
BO
=
PM
CO

2-x
3
2
=
-(-x2+2x)
2
,
則3x2-5x-2=0,
解之得x1=-
1
3
,x2=2(舍去).
當(dāng)x=-
1
3
時(shí),y=-
7
9
,即點(diǎn)P(-
1
3
-
7
9

②若△PMA∽△BOC,
AM
CO
=
PM
BO

2-x
2
=
-(-x2+2x)
3
2

則x2+x-6=0
解之得x1=-3,x2=2(舍去).
當(dāng)x=-3時(shí),y=-15,即點(diǎn)P(-3,-15).
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是P1-
1
3
,-
7
9
),P2(-3,-15).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合,用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,此題綜合性比較強(qiáng),有一定的難度,對(duì)學(xué)生提出較高的要求.注意:不要漏解,分類(lèi)討論思想的巧妙運(yùn)用.
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)
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x
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1
2
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