Question

如圖，已知銳角△ABC及其外接圓⊙O，AM是BC邊的中線．分別過點B，C作⊙O的切線，兩條切線相交于點X，連接AX．求證：．

Answer 1

證明：設AX與⊙O相交于點A₁，連接OB，OC，OA₁．又M為BC的中點，
所以，連接OX，它過點M．
∵OB⊥BX，OX⊥BC，
∴XB²=XM•XO．①
又由切割線定理得XB²=XA₁•XA．②
由①，②得，
∴△XMA∽△XA₁O，
∴．
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOX=∠BAC，
∴．
分析：設AX與⊙O相交于點A₁，連接OB，OC，OA₁．連接OX過點M，求得XB²=XM•XO．①；利用切割線定理求得XB²=XA₁•XA．②；由①，②求證△XMA∽△XA₁O，即可求證．
點評：此題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、切線長定理、切割線定理等知識點，綜合性較強，有一定的難度，此題的關鍵是設AX與⊙O相交于點A₁，連接OB，OC，OA₁．又M為BC的中點，所以，連接OX，它過點M．然后利用切割線定理和相似三角形的性質(zhì)來求解的．