Question

如圖，直線經過A（1，0），B（0，1）兩點，點P是雙曲線（x＞0）上任意一點，PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M，N．PM與直線AB交于點E，PN的延長線與直線AB交于點F．
（1）求證：AF•BE=1；
（2）若平行于AB的直線與雙曲線只有一個公共點，求公共點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點E、F分別作y軸、x軸的垂線，垂足為D、C，將求線段AF、BE的問題轉化到等腰直角三角形△FCA，△DBE中求斜邊的長，再做乘法，利用點P（x，y）在雙曲線上，列式求解；
（2）由A、B兩點坐標可知，直線AB解析式的一次項系數為-1，平行于AB的直線l的解析式為y=-x+b，將直線l的解析式與雙曲線解析式聯(lián)立，消去y，得到關于x的一元二次方程，當l與雙曲線的唯一公共點時，△=0求b的值即可．
解答：（1）證明：過點E、F分別作y軸、x軸的垂線，垂足為D、C，
則△AOB，△FCA，△DBE為等腰直角三角形，
設P（x，y），則FC=y，DE=x，AF=y，BE=x，
∴AF•BE=y•x=2xy，
又y=，
即2xy=1，
∴AF•BE=1；

（2）解：平行于AB的直線l的解析式為y=-x+b，設l與雙曲線的唯一公共點Q坐標為（x，y），
聯(lián)立，得2x²-2bx+1=0，
由△=4b²-8=0，得b=（-舍去），
∴x=，y=，
即Q點的坐標為（，）．
點評：此題主要考查反比例函數的性質，注意通過解方程組求出交點坐標，同時要注意運用數形結合的思想．