作業(yè)寶如圖,拋物線過x軸上兩點(diǎn)A(9,0),C(-3,0),且與y軸交于點(diǎn)B(0,-12).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位沿射線AC方向運(yùn)動(dòng);同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位沿射線BA方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).問當(dāng)t為何值時(shí),△APQ∽△AOB?
(3)若M為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN平行于y軸交拋物線于點(diǎn)N.
①是否存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形CBNA的面積最大?求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形CBNA面積的最大值.

(1)因拋物線過x軸上兩點(diǎn)A(9,0),C(-3,0)
故設(shè)拋物線解析式為:y=a(x+3)(x-9)(a≠0).
又∵B(0,-12)
∴-12=-27a
∴a=      
y=(x+3)(x-9)=x2-x-12;

 (2)如圖1,∵B(0,-12),A(9,0),
∴OB=12,OA=9,
∴由勾股定理得到:AB==15.
AP=2t,AQ=15-t,易求AC=12,
∴0≤t≤6
∵△APQ∽△AOB,則=,即=,
,解得,t=
∴當(dāng)t=時(shí),△APQ∽△AOB;

(3)如圖2,設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0).
∵B(0,-12),A(9,0),
,
解得,,
則直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=x-12.
設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則M(x,x-12),N(x,x2-x-12).
 ①若四邊形OMNB為平行四邊形,則MN=OB=12
∴(x-12)-(x2-x-12)=12                   
即x2-9x+27=0
∵△<0,∴此方程無實(shí)數(shù)根,
∴不存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形.
②∵S四邊形CBNA=S△ACB+S△ABN=72+S△ABN
∵S△AOB=54,S△OBN=6x,S△OAN=•9•|yN|=-2x2+12x+54
∴S△ABN=S△OBN+S△OAN-S△AOB=6x+(-2x2+12x+54)-54
=-2x2+18x=-2(x-2+
∴當(dāng)x=時(shí),S△ABN 最大值=
此時(shí)M(,-6),
S四邊形CBNA最大=
分析:(1)設(shè)二次函數(shù)解析式為交點(diǎn)式:y=a(x+3)(x-9)(a≠0).然后把點(diǎn)B的交點(diǎn)坐標(biāo)代入來求a的值;
(2)利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到:=.然后把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入即可求得t的值;
(3)①利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為:y=x-12.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則M(x,x-12),N(x,x2-x-12).
 ①若四邊形OMNB為平行四邊形,則對(duì)邊相等:MN=OB=12,(x-12)-(x2-x-12)=12,根據(jù)△<0可以推知不存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形.
②利用“分割法”得到:S四邊形CBNA=S△ACB+S△ABN=72+S△ABN,S△AOB=54,S△OBN=6x,S△OAN=•9•|yN|=-2x2+12x+54,則
S△ABN=S△OBN+S△OAN-S△AOB=-2(x-2+,所以由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得當(dāng)x=時(shí),S△ABN 最大值=,所以S四邊形CBNA最大=
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)綜合題.用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時(shí)要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法.求拋物線的最值的方法是配方法.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•紹興模擬)如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-4),以AB為直徑作圓,圓心為D,過P向右側(cè)作⊙D的切線,切點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)請(qǐng)通過計(jì)算判斷拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C;
(3)設(shè)M,N 分別為x軸,y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)四邊形PNMC的周長(zhǎng)最小時(shí),請(qǐng)直接寫出M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo).

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(2012•浦江縣模擬)已知:如圖,拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)若平行于x軸的動(dòng)直線 與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問:是否存在這樣的直線,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線與x軸交于A(-2,0),B(6,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,-4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥BC,交AC于點(diǎn)N,連接CM,當(dāng)△CMN的面積最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)D(4,k)在(1)中拋物線上,點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)F,使以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江蘇省靖江市九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,拋物線過x軸上兩點(diǎn)A(9,0),C(-3,0),且與y軸交于點(diǎn)B(0,-12).

1求拋物線的解析式;

2若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位沿射線AC方向運(yùn)動(dòng);同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位沿射線BA方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).問當(dāng)t為何值時(shí),APQAOB?

3M為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)MMN平行于y軸交拋物線于點(diǎn)N

是否存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形CBNA的面積最大?求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形CBNA面積的最大值.

 

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