Question

已知拋物線y=x²+px+q上有一點(diǎn)M（x₀，y₀）位于x軸下方．
（1）求證：此拋物線與x軸交于兩點(diǎn)；
（2）設(shè)此拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，求證：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）由于要證明即拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，就是要證△=p²-4q＞0即可求解；
（2）由于此拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，要證明x₁＜x₀＜x₂即要證（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0即可，而這個(gè)不等式利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）∵y=x²+px+q上有一點(diǎn)M（x₀，y₀）位于x軸下方，
∴y₀=x₀²+px₀+q=（x₀+

p

2

）²-

p2-4q

4

＜0，
∴

p2-4q

4

＞（x₀+

p

2

）²≥0，
∴p²-4q＞0，
∴△＞0，
∴此拋物線與x軸交于兩點(diǎn)；

（2）∵x₁+x₂=-p，
x₁•x₂=q，
∴y₀=x₀²+px₀+q=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁•x₂＜0，
∴（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
故x₁＜x₀＜x₂．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，其中：
（1）拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的個(gè)數(shù)、根的符號(hào)特征、根的關(guān)系來(lái)探討，需綜合運(yùn)用判別式、韋達(dá)定理等知識(shí)．
（2）對(duì)較復(fù)雜的二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)討論，基本步驟是：在直角坐標(biāo)系中作出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象，由確定函數(shù)圖象大致位置的約束條件建立不等式組．