(2002•麗水)如圖,在⊙O中,直徑BC為10,點A是⊙O上的一個點,∠ABC的平分線交⊙O于點E,交AC于點F.過點E作⊙O的切線,交BC的延長線于慮D,連接CE.
(1)求證:∠ACE=∠DEC′;
(2)若AB=AE,求AF的長;
(3)如果點A由點B出發(fā),在⊙O的圓周上運動,當點A在什么位置時,AE與BD互相平行?

【答案】分析:(1)根據(jù)角平分線的性質可知∠ABE=∠EBC,=,由圓周角定理可得∠ABE=∠ACE,由弦切角定理可知∠DEC=∠EBC,故∠ACE=∠DEC;
(2)由(1)可知=,因為AB=AE,所以==,故A、E三等分,故三段弧所對的圓周角等于30°,再根據(jù)直角三角形及相似三角形的性質即可解答;
(3)由(2)可知,當==,即A、E三等分時,AE與BD互相平行.
解答:(1)證明:∵AE是∠ABC的平分線,
∴∠ABE=∠EBC,=;
又∵∠ABE=∠ACE,∠DEC=∠EBC,
∴∠ACE=∠DEC.

(2)解:∵=,AB=AE,
==,故A、E三等分
∴∠EBC=∠ACB=∠CAE=∠AEB=30°,AE∥BD;
在Rt△ABC中,∠ACB=30°,故AB=BC=×10=5,故AB=AE=CE=5,
AC=BE===5,
△AEF∽△CBF,設AF=x,則=,即=,
解得x=,即AF=;

(3)解:由(2)可知,當==,即A、E三等分時,AE與BD互相平行.
點評:此題比較復雜,涉及到圓周角的性質定理及直角三角形的性質,是中學階段的重點內容.
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(1)用含m的代數(shù)式表示k;
(2)寫出△AOB的面積S關于m的函數(shù)解析式;
(3)在直線y2=3x上是否存在點A,使得△AOB面積最小?若存在,請求出點A的坐標;若不存在,請說明理由.

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