Question

(2007，福建省廈門市，25)已知：如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，連接OA、OB、OP，

(1)若∠AOP=60°，求∠OPB的度數(shù)；

(2)過(guò)O作OC、OD分別交AP、BP于C、D兩點(diǎn)，

①若∠COP=∠DOP，求證：AC=BD；

②連接CD，設(shè)△PCD的周長(zhǎng)為l，若l=2AP，判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解：∵PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)， ∴∠OAP=90°． ∵∠AOP=60°，∴∠OPA=30°． ∴∠OPB=∠OPA=30°． (2)①證明：∵∠COP=∠DOP，∠CPO=∠DPO，PO=PO， ∴△OCP≌△ODP． ∴CP=DP． ∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA=PB ∴AC=BD． ②證明1：連接CD．∵l=2AP，PA=PB， ∴CD=AC＋BD． ∵OA=OB，且∠OAC=∠OBD=90°． ∴將△OAC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合． 記點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，． ∵∠OAC=∠OBD=90°，∴點(diǎn)在PB的延長(zhǎng)線上． ∵，，OD=OD， ∴． ∴過(guò)O作OE⊥CD，E是垂足．即OE是點(diǎn)O到直線CD的距離， ∴． ∴OB=OE． ∴直線CD與⊙O相切． 證明2：過(guò)O作OE⊥CD，垂足為E．設(shè)OE=d，CE=x，DE=y． ∴，， ∴ ∴(AC＋x)(AC－x)－(BD＋y)(BD－y)=0 ∵l=2AP，PA=PB，∴x＋y=AC＋BD． ∴AC－x=y－BD． ∴(AC＋x)(y－BD)－(BD＋y)(BD－y)=0． ∴(y－BD)(AC＋x＋BD＋y)=0． ∵(AC＋x＋BD＋y)≠0，∴y－BD=0． ∴BD=y． ∴d=AO．∴直線CD與⊙O相切．