Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y= x2﹣4的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，⊙C的半徑為 ，P為⊙C上一動點．

（1）點B，C的坐標(biāo)分別為B（），C（）；
（2）是否存在點P，使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）連接PB，若E為PB的中點，連接OE，則OE的最大值= ．

Answer 1

【答案】
（1）3，0；0，﹣4
（2）

存在點P，使得△PBC為直角三角形，

①當(dāng)PB與⊙相切時，△PBC為直角三角形，如圖（2）a，

連接BC，

∵OB=3．OC=4，

∴BC=5，

∵CP2⊥BP2，CP2= ，

∴BP2=2 ，

過P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F，

則△CP2F∽△BP2E，四邊形OCP2B是矩形，

∴ = =2，

設(shè)OC=P2E=2x，CP2=OE=x，

∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4，

∴ = =2，

∴x= ，2x= ，

∴FP2= ，EP2= ，

∴P2（ ，﹣ ），

過P1作P1G⊥x軸于G，P1H⊥y軸于H，

同理求得P1（﹣1，﹣2），

②當(dāng)BC⊥PC時，△PBC為直角三角形，

過P4作P4H⊥y軸于H，

則△BOC∽△CHP4，

∴ = = ，

∴CH= ，P4H= ，

∴P4（ ，﹣ ﹣4）；

同理P3（﹣ ， ﹣4）；

綜上所述：點P的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）或（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ﹣4）或（﹣ ， ﹣4）；

（3）
【解析】解：（1）在y= x2﹣4中，令y=0，則x=±3，令x=0，則y=﹣4，
∴B（3，0），C（0，﹣4）；
所以答案是：3，0；0，﹣4；
如圖（3），當(dāng)PB與⊙C相切時，PB與y 軸的距離最大，OE的值最大，

∵過E作EM⊥y軸于M，過P作PF⊥y軸于F，
∴OB∥EM∥PF，
∵E為PB的中點，
∴ME= （OB+PF）= ，OM=MF= OF= ，
∴OE= = ．
所以答案是： ．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．