Question

如圖甲，MN是平行四邊形ABCD外的一條直線，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′為垂足．對角線AC與BD相交于O點，O′是B′D′的中點．
（1）求證：OO′是梯形AA′C′C的中位線．
（2）求證：AA′+CC′=BB′+DD′．
（3）若直線MN向上移動，使點C在直線一側(cè)，A、B、D在直線另一側(cè)（如圖乙），則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關(guān)系？寫出你的猜想并證明．

Answer 1

（1）證明：∵O是BD中點，O'是B'D'的中點，
∴OO'是梯形BB'D'D的中位線，
又∵BB'⊥MN，DD'⊥MN，
∴OO'∥BB'∥AA'∥CC'∥DD'，
∵OA=OC，
∴A′O′=C′O′（一組平行線在一條直線上截的線段相等，那么在其它直線上截的線段也相等），即點O′是線段A′C′的中點，
∴OO′是梯形AA′C′C的中位線；

（2）由（1）得：OO'是梯形BB'D'D的中位線，OO′是梯形AA′C′C的中位線，
∴OO′=（BB′+DD′），OO′=（AA′+CC′），
∴AA′+CC′=BB′+DD′．
∴（BB′+DD′）=（AA′+CC′），即AA'+CC'=BB'+DD'；

（3）AA'=BB'+CC'+DD'．垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間的關(guān)系是AA′=BB′+CC′+DD′，
證明：延長C′O交AA′于E，
由（1）知：AA′∥OO′∥CC′，
∴∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，
∵OA=OC，
∴△AEO≌△OC′C，
∴EO=C′O，
∵OO′∥AA′，
∴A′O′=O′C′，
即OO′是△C′A′E的中位線，
∴OO′=A′E=（AA′-CC′），
由（1）知：OO′=（BB′+DD′），
∴AA′-CC′=BB′+DD′，
即AA′=BB′+CC′+DD′．
分析：（1）根據(jù)梯形中位線的判定與性質(zhì)、平行四邊形對角線的性質(zhì)以及“一組平行線在一條直線上截的線段相等，那么在其它直線上截的線段也相等”證得OO′是梯形AA′C′C的中位線．
（2）根據(jù)梯形中位線定理得出OO′=（BB′+DD′），OO′=（AA′+CC′）即可；
（3）AA'=BB'+CC'+DD'．理由：延長C′O交AA′于E，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，證△AEO≌△OC′C，推出EO=C′O，得出A′O′=O′C′，根據(jù)中位線的性質(zhì)求出OO′=（AA′-CC′），OO′=（BB′+DD′），推出AA′-CC′=BB′+DD′即可．
點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，三角形的中位線定理，梯形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，解此題的關(guān)鍵是正確作輔助線．