如圖1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2 3 ,AC,BD相交于點O.
(1)求邊AB的長;
(2)如圖2,將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處,繞點A左右旋轉(zhuǎn),其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC,CD相交于點E,F(xiàn),連接EF與AC相交于點G.
①判斷△AEF是哪一種特殊三角形,并說明理由;
②旋轉(zhuǎn)過程中,當點E為邊BC的四等分點時(BE>CE),求CG的長.
(1)2(2)①等邊三角形,理由見解析②
【解析】解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴△AOB為直角三角形,且OA=AC=1,OB=
BD= 3。
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB=。
(2)①△AEF是等邊三角形。理由如下:
∵由(1)知,菱形邊長為2,AC=2,∴△ABC與△ACD均為等邊三角形。
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。
又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°,∴∠BAE=∠CAF。
在△ABE與△ACF中,∵∠BAE=∠CAF ,AB=AC=2 ,∠EBA=∠FCA=60°,
∴△ABE≌△ACF(ASA)。∴AE=AF。∴△AEF是等腰三角形。
又∵∠EAF=60°,∴△AEF是等邊三角形。
②BC=2,E為四等分點,且BE>CE,∴CE=,BE=
。
由①知△ABE≌△ACF,∴CF=BE=。
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°(三角形內(nèi)角和定理),
∠AEG=∠FCG=60°(等邊三角形內(nèi)角),∠EGA=∠CGF(對頂角),
∴∠EAC=∠GFC。
在△CAE與△CFG中,∵ ∠EAC=∠GFC ,∠ACE=∠FCG=60°,
∴△CAE∽△CFG 。∴,即
。解得:CG=
。
(1)根據(jù)菱形的性質(zhì),確定△AOB為直角三角形,然后利用勾股定理求出邊AB的長度。
(2)①確定一對全等三角形△ABE≌△ACF,得到AE=AF,再根據(jù)已知條件∠EAF=60°,可以判定△AEF是等邊三角形。
②確定一對相似三角形△CAE∽△CFG,由對應(yīng)邊的比例關(guān)系求出CG的長度。
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