Question

（1）如圖1，直線m經(jīng)過等腰直角△ABC的頂點(diǎn)A，過點(diǎn)B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別為D、E，求證：BD+CE=DE；
（2）如圖2，直線m經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A，AB=AC，在直線m上取兩點(diǎn) D，E，使∠ADB=∠AEC=α，補(bǔ)充∠BAC=______（用α表示），線段BD，CE與DE之間滿足BD+CE=DE，補(bǔ)充條件后并證明；
（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB=∠AEC=______（用α表示）．通過觀察或測(cè)量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

解：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ADB=∠AEC，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD+CE=AD+AE=DE；

（2）補(bǔ)充∠BAC=α，理由如下：
∵∠ADB=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；

（3）補(bǔ)充∠ADB=∠AEC=180°-α，理由如下：
∵∠ADB=180°-α，
∴∠ABD+∠BAD=α，
∵∠BAD+∠CAE=α，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD，CE=AD，
∴BD+DE=AE+DE=AD=CE；
分析：（1）根據(jù)BD⊥m，CE⊥m，得出∠DAB+∠ABD=90°，∠ADB=∠AEC，再根據(jù)∠BAC=90°，求出∠ABD=∠EAC，在△ADB和△CEA中，根據(jù)“AAS”得出△ADB≌△CEA，從而證出BD+CE=DE；
則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）補(bǔ)充∠BAC=α，根據(jù)ADB=∠BAC=α，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出BD+CE=DE
（3）補(bǔ)充∠ADB=∠AEC=180°-α，根據(jù)補(bǔ)充的條件得出∠ABD+∠BAD=α，再根據(jù)∠BAD+∠CAE=α，得出∠ABD=∠CAE，再根據(jù)AAS證出△ABD≌△CAE，得出AE=BD，CE=AD，即可證出BD+DE=CE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定添加適當(dāng)?shù)臈l件，求出各邊之間的關(guān)系．