Question

如圖1，P（m，n）是拋物線上任意一點， l是過點（0，）且與x軸平行的直線，過點P作直線PH⊥l，垂足為H．

【探究】

（1）填空：當m＝0時，OP＝     ，PH＝     ；當m＝4時，OP＝     ，PH＝     ；

【證明】

（2）對任意m，n，猜想OP 與PH的大小關系，并證明你的猜想．

【應用】

（3）如圖2，已知線段AB=6，端點A，B在拋物線上滑動，求A，B兩點到直線l的距離之和的最小值．

 

Answer 1

（1）填空：當m＝0時，OP＝  1  ，PH＝  1  ；當m＝4時，OP＝  5  ，PH＝  5  ；

（2）OP= PH  

證明：∵P（m，n）是拋物線上任意一點，∴．

      ∵，

        ，

∴，    ∴．  -

（3）分別A，B過點作直線l的垂線，垂足為M，N．

①當AB不過O點時，連接OA，OB，

在△OAB中OA+OB＞AB=6，

由上述結論得：AM=OA，BN=OB．

∴AM+ BN＞6．

            ②當AB過O點時，AM+ BN= OA+OB=AB=6．

            所以AM+ BN的最小值為6．

即A，B兩點到直線l的距離之和的最小值為6．