Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E．

（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；

（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G．如果EF=2OG，求點Ｇ的坐標．

（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

.解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°

    ∴∠AOD=∠DOC=45°

 ∵在矩形ABCD中，

∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3

∴△AOD是等腰Rt△  

∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°

∴∠AOE=∠BCD

∴△AED≌△BDC

∴AE=DB=1

∴D(2,2),E(0,1),C(3,0)   …………………………2分

則過D、E、C三點的拋物線解析式為：  …

（2）DH⊥OC于點H,

∴∠DHO=90°

∵矩形 ABCD 中, ∠BAO=∠AOC=90°

∴四邊形AOHD是矩形

∴∠ADH=90°.

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°

∴∠1=∠3

∵AD=OA=2，

∴四邊形AOHD是正方形.

∴△FAD≌△GHD

∴FA=GH        

∴設點 G（x，0），

∴OG=x，GH=2-x

∵EF=2OG=2x，AE=1，

∴2-x=2x-1，

∴x=1.

∴G(1,0)         

     (3)由題意可知點P若存在，則必在AB上，假設存在點P使△PCG是等腰三角形

      1）當點P為頂點，既 CP=GP時，

易求得P₁（2,2），既為點D時，

此時點Q、與點P₁、點D重合，

∴點Q₁(2,2)                  

      2) 當點C為頂點，既 CP=CG=2時, 易求得P₂(3,2)

∴直線GP₂的解析式：

求交點Q:

可求的交點（）和（-1，-2）

∵點Q在第一象限

∴Q₂（）        

  3)當點G為頂點，既 GP=CG=2時, 易求得P₃(1,2)

∴直線GP₃的解析式：

求交點Q:

可求的交點（）

∴Q₃（）         

所以，所求Q點的坐標為Q₁(2,2)、Q₂（）、Q₃（）．